Гармонические колебания. Характеристики гармонических колебаний

Данная тема посвящена гармоническим колебаниям и их характеристикам.

Окружающий нас мир наполнен разнообразными колебательными дви­жениями и процессами: колеблются ветки деревьев и кузов автобуса при движении. Колебания струн под руками умелого музыканта вызывают колебания воздуха, и слышится прекрасная музыка.

Кроме того, многие важнейшие процессы внутри организма человека явля­ются колебательными: сердце человека в спокойном состоянии совершает око­ло одного колебательного движения в секунду, под действием повторяющихся нервных импульсов каждая мышца в теле человека непрерывно то сокращается, то растягивается.

Таким образом, колебанием называется процесс, при котором какая-либо физическая величина, характеризующая этот процесс, последовательно изменяется то в одну, то в другую сторону около некоторого своего среднего значения. Например, на качелях, подвешенных на веревках, человек отклоняется то вперед и вверх, то назад и вверх от положения равновесия. Говорят, что качели являются колебательной системой.

Таким образом, механической колебательной системой называется совокупность тел, в которой могут происходить колебательные процессы.

Наиболее простыми механическими колебательными системами являются: вертикаль­ный пружинный маятник, который образуют Земля, штатив, пружина и груз; физический маятник, образованный Землей, штативом и шариком на нити; и горизонтальный пружинный маятник — это два штатива, две пружи­ны и шарик.

Колебательный процесс в системе может происходить под действием как внутренних, так и внешних сил. Если колебания в системе происходят только под действием внутренних сил, то их называют свободными колебаниями.

А если колебания тела повторяются через определен­ный промежуток времени, то их называют периодическими.

Рассмотрим условия, которые необходимы для того, чтобы в системе могли возникнуть свободные колебания:

1) Необходимо наличие положения устойчивого равновесия.

2) Необходимо наличие у тела избыточной механической энергии по сравнению с ее энергией в положении устойчивого равновесия, так как самопроизвольно (то есть без внешнего воздействия) система не может выйти из положения равновесия.

3) на тело должна действовать возвращающая сила, то есть сила, всегда направленная к положению устойчивого равновесия.

4) В идеальных колебательных системах должны отсутствовать силы сопротивления.

Теперь рассмотрим некоторые важные характеристики колебательного движения.

Периодом колебания называется промежуток времени, в течение которого совершается одно полное колебание.

Частота колебаний — это величина, об­ратная периоду, равная числу колебаний, совершенных системой за одну секунду.

В СИ период измеряется в секундах, а частота — в герцах.

Смещением называется любое откло­нение физической величины от ее значе­ния в положении равновесия и измеряемая расстоянием от положения равновесия до положения точки в заданный момент времени.

Амплитудой называется максималь­ное смещение тела от положения равновесия.

Простейшим видом колебаний являются гармонические колебания. Термин «гармонические колебания» впервые был введен в науку швейцарским физиком Даниилом Бернулли. Гармоническими называются колебания, при которых какая-либо величина изменяется с тече­нием времени по закону синуса или косинуса.

Например, гармонические колебания фи­зического маятника можно зарегистрировать следующим способом. В качестве груза взять небольшой стакан с песком, который мо­жет высыпаться через очень маленькое отверстие снизу.

Если под колеблющимся маятником двигать равномерно по столу бумажную ленту, то полученная на бумаге кри­вая представляет собой синусоиду или косинусоиду в зависи­мости от выбора начального момента времени наблюдения (момента отсчета времени).

Чтобы установить основные кинематические признаки гармонических коле­баний, рассмотрим их математическую модель на примере изменения физичес­ких величин, характеризующих движение материальной точки по окружности с постоянной угловой скоростью. Начало координат поместим в центре окружности радиуса R. Пусть в начальный момент времени материальная точка находилась в положении M₀ и ее радиус-вектор составлял с осью Ox угол j₀.

Через промежуток времени t точка переместится в положение M, а ее радиус-вектор при этом повернется на угол Dj и составляет в данный момент с осью Ox угол

Запишем теперь координаты точки в этот момент времени

Теперь расположим перпендикулярно друг к другу два экрана и будем освещать движущийся шарик. На вер­тикальном экране тень от шарика будет двигаться вдоль оси Oy по закону:

То есть совершать колебания возле начала координат. На горизонтальном экране тень шарика будет двигаться вдоль оси Ox по закону:

И также совершать колебания около начала координат.

Величина, стоящая под аргументом синуса или косинуса, или, в вы­бранной системе отсчета, угол между радиус-вектором и осью абсцисс называется фазой колебания.

Начальная фаза колебания j₀ характеризует положение точки в началь­ный момент времени.

Тогда мгновенные значения координат x и y, можно рассматри­вать как смещения шарика от нулевого значения, а модуль амплитудного значения для обеих координат равен радиусу окружности.

Таким образом, кинематический закон любого гармонического движения можно представить в виде:

Следовательно, графически зависимость смещения колеблющейся точки от времени изображается косинусоидой или синусоидой.

В записанных уравнениях w — это циклическая (или круговая) частота, которая показывает, сколько колебаний совершает материальная точка за 2p секунд. Соответственно, в системе СИ она измеряется в радианах на секунду.

Рассмотрим, как изменяются проекции скорости и ускорения колеблющейся точки со временем для случая, когда начальная фаза колебаний равна нулю.

Начнем со скорости. Для этого найдем первую производную по времени от кинематического закона гармонических колебаний.

В полученном выражении произведение циклической частоты и амплитуды колебаний — это есть амплитуда проекции скорости на ось координат.

Таким образом видим, что при гармонических колебаниях проекция скорости тела на координатную ось тоже изменяется по гармоническому закону с той же частотой, но с другой амплитудой и опережает по фазе смещение на p/2.

Теперь рассмотрим ускорение. Для этого найдем производную от проекции скорости по времени.

Величина, равная произведению квадрата циклической частоты и амплитуды колебаний, является амплитудой проекции ускорения.

Как видно из формулы, при гармонических колебаниях проекция ускорения опережает смещение по фазе на p. Говорят, что проекция ускорения изме­няется с течением времени в противофазе изменению координаты.

Учитывая кинематический закон гармонического движения получим, что при гармонических колебаниях проекция ускорения прямо пропорциональна смещению и противоположна ему по знаку, то есть направлено в сторону, противоположную смещению.

Так как проекция ускорения — это вторая производная от смещения по времени, то последнее соотношение можно записать в виде:

Это уравнение называется уравнением гармонических колебаний.

Рассмотрим процесс превращения энергии при гармонических колебаниях на примере идеального горизонтального пруженного маятника. Горизонтальный уровень, на котором находится маятник, выбираем за нулевой уровень отсчета потенциальной энергии маятника в поле силы тяжести.

Если вывести тело из положения равновесия, например, сжав пружину на некоторую величину, то сообщается этому телу некоторый запас потенциальной энергии.

После прекращения внешнего воздействия, тело придет в движение. При движении к положению равновесия его потенциальная энергия убывает, а кинетическая наоборот, возрастает, так как деформация пружины уменьшается, а скорость движения тела увеличивается. В момент прохождения телом положения равновесия его потенциальная энергия равна нулю, а вот кинетическая энергия будет максимальна.

После прохождения положения равновесия скорость тела начинает уменьшаться, а пружина растягивается. Следовательно, кинетическая энергия тела начинает убывать, а потенциальная наоборот — возрастать. В точке максимального отклонения тела его кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная — максимальна.

Таким образом, при колебаниях периодически происходит переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно.

Полная механическая энергия такой колебательной системы равна сумме его кинетической и потенциальной энергий.

Если смещение материальной точки, совершающей колебания, изменяется с течением времени по гармоническому закону, то, как известно, и скорость тела изменяется также по гармоническому закону. Следовательно, кинетическую и потенциальную энергию колеблющегося тела можно задать следующими функциями

Из этих формул видно, что кинетическая и потенциальная энергии изменяются тоже по гармоническому закону, с одинаковой амплитудой и в противофазе друг с другом.

А вот полная механическая энергия системы, равная сумме кинетической энергии тела и упругой энергии пружины, остается неизменной и равной начальной максимальной потенциальной энергии, либо его кинетической энергии в момент прохождения положения равновесия.

В реальных условиях на маятник всегда действуют силы сопротивления, поэтому полная энергия уменьшается, и свободные колебания маятника с течением времени затухают, то есть их амплитуда уменьшается до нуля. Такие колебания называются затухающими.

Основные выводы:

Рассмотрели, какое движение называется колебательным и что называют свободными колебаниями. Повторили основные характеристики колебательного движения. Вспомнили, какие колебания называются гармоническими и рассмотрели, какие превращения энергии происходят при гармонических колебаниях.