Сложение рациональных чисел

Представим себе такую историю…

– Паша, помоги мне, пожалуйста, – попросил у друга Саша.

– Давай помогу, – сказал Паша.

– Вчера на улице было  мороза. Утром мне старший брат сказал, что сегодня намного теплее, так как температура стала выше на , – начал Саша. – Но я не могу понять, какая сегодня погода.

– Что же здесь непонятного? – удивился Паша. – Надо к  прибавить 6. Но как сложить отрицательное и положительное числа, я не знаю.

– Вот и я не знаю, – сказал Саша.

– Может, спросим у Мудряша? – предложил другу Паша.

– Ребята, прежде чем я отвечу на ваш вопрос, давайте немного разомнёмся и выполним устные задания, – предложил Мудряш.

– Теперь сверимся! – сказал Мудряш. – Посмотрите, что у вас должно было получиться!

– А сейчас вернёмся к вашему вопросу, – начал Мудряш. – Разберёмся, как сложить отрицательное число и положительное число. Для этого мы начертим координатную прямую. Отметим на ней начало отсчёта и единичный отрезок. Вы сказали, что вчера было  мороза. Отметим точку А () на координатной прямой. Сегодня температура повысилась на , а значит, на нашей координатной прямой мы переместимся на 6 единичных отрезков вправо и окажемся в точке В (2). Тогда мы с вами можем записать, что .

– А если бы, например, температура понизилась на , то нам надо было бы к  прибавить . Как бы мы это сделали? – спросил у Мудряша Саша.

– В этом случае мы бы переместились на 3 единичных отрезка влево и оказались в точке С (), – ответил Мудряш. – То есть можно записать так: .

Запомните! Если к числу а прибавить положительное число b, то точка с координатой a переместится по координатной прямой на b единичных отрезков вправо.

Если к числу a прибавить отрицательное число b, то точка с координатой a переместится по координатной прямой на минус b единичных отрезков влево.

– Давайте вычислим суммы: ; ; , – предложил мальчишкам Мудряш. – Снова воспользуемся координатной прямой. Итак, сложим  и 5. Сначала отметим точку с координатой  на координатной прямой. Затем переместимся на 5 единичных отрезков вправо и окажемся в точке с координатой . То есть .

Теперь к  прибавим 6,5. Для этого из точки с координатой  переместимся на 6,5 единичных отрезков вправо и окажемся в точке с координатой 3,5. То есть .

И в последнем примере мы сложим 4 и . Отметим точку с координатой 4 и, так как прибавляем отрицательное число , переместимся на 7 единичных отрезков влево и окажемся в точке с координатой . Запишем это так: .

– В каждом из рассмотренных примеров мы находили сумму чисел с разными знаками, – заметили мальчишки.

– И обратите внимание, что в каждом примере знак суммы такой же, что и у слагаемого, модуль которого больше. Так, в первом примере . И сумма имеет знак «». Во втором примере . Сумма – положительное число. И в третьем примере . Сумма со знаком «», – объяснил Мудряш.

– Понятно, как определять знак суммы, – сказали Саша и Паша. – Но можно ли найти её значение без помощи координатной прямой?

– Конечно, можно, – ответил Мудряш. – Давайте сформулируем правило сложения двух чисел с разными знаками. Запомните! Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо: 1) найти модули слагаемых; 2) из большего модуля вычесть меньший модуль; 2) перед полученным числом поставить знак слагаемого с большим модулем.

Давайте ещё раз решим наши примеры, но уже с помощью правила.

Первый пример: . ; . Значение модуля отрицательного слагаемого у нас больше значения модуля положительного слагаемого. А значит, сумма у нас будет со знаком «». Найдём теперь: .

Следующий пример: . ; . Модуль положительного слагаемого больше модуля отрицательного слагаемого.

– А значит, сумма у нас будет со знаком «», – подсказали ребята. – Теперь из большего модуля вычтем меньший и получим: .

– Верно, – сказал Мудряш. – При этом знак «» ставить совсем не обязательно. И последний пример: . ; .

– Здесь сумма будет со знаком «», так как , – продолжили мальчики. – Найдём разность: .

– Молодцы! – похвалил Сашу и Пашу Мудряш и предложил. – Давайте мы с вами решим ещё несколько примеров: ; ; .

– Нам надо будет снова вычислить сумму. Мы это уже умеем делать, – обрадовался Саша.

– Посмотри внимательнее, – сказал Паша. – В каждом примере оба слагаемых отрицательные числа. А мы пока не умеем их складывать.

– Ребята, чтобы решить эти примеры, мы с вами снова воспользуемся координатной прямой. Начертим её. Отметим начало отсчёта и выберем единичный отрезок. В первом примере нам надо к  прибавить . Отметим точку с координатой . Затем переместимся на 2 единичных отрезка влево и окажемся в точке с координатой . То есть .

Чтобы вычислить сумму , отметим точку с координатой . Переместимся 4,5 единичных отрезка влево и окажемся в точке с координатой . То есть .

И вычислим последнюю сумму .

– Для этого отметим точку с координатой , – продолжили ребята. – Потом переместимся влево на 2,5 единичных отрезка и окажемся в точке с координатой . Получим: .

А может, как и для чисел с разными знаками, есть правило сложения отрицательных чисел?

– Такое правило есть, – сказал Мудряш. – Сформулируем его. Чтобы сложить два отрицательных числа, надо: 1) найти модули слагаемых; 2) сложить модули слагаемых; 3) перед полученным числом поставить знак «».

Решим с помощью этого правила рассмотренные выше примеры. Итак, первый пример: . ; . Запишем сумму модулей и поставим перед ней знак «»: . Выполним сложение в скобках и получим .

Второй пример: . ; . Запишем сумму модулей и поставим перед ней знак «»: . Выполним сложение в скобках и получим .

И последний пример: . ; . Запишем сумму модулей и перед ней поставим знак «»: . Сложим числа в скобках и получим .

– Интересно, а чему равна сумма двух противоположных чисел? – задал вопрос Мудряшу Паша.

– Это хороший вопрос! – сказал Мудряш. – Снова воспользуемся координатной прямой, чтобы найти, например, сумму  и 5. Отметим точку с координатой . Теперь переместимся на 5 единичных отрезков вправо и окажемся в точке с координатой 0. То есть сумма  и 5 равна 0.

Давайте ещё вычислим сумму 3,5 и . Отметим на координатной прямой точку с координатой 3,5. Затем переместимся на 3,5 единичных отрезка влево и окажемся в точке с 0. А значит, сумма 3,5 и  равна 0.

– То есть при сложении двух противоположных чисел всегда получаем 0? – спросили мальчишки.

– Всё верно, – сказал Мудряш. – Запомните! Сумма двух противоположных чисел равна нулю. Для любого рационального числа a верно равенство: .

Давайте для закрепления новых знаний выполним несколько заданий.

Задание первое: выполните сложение:

а) ; б) ; в) ; г) .

Решение: заметим, что в каждом из примеров нам надо сложить два числа с разными знаками. А значит, мы с вами будет пользоваться правилом сложения двух чисел с разными знаками. В первом примере нам надо вычислить сумму  и 53. ; . Значение модуля положительного слагаемого у нас больше значения модуля отрицательного слагаемого. Поэтому сумма у нас будет положительной. Из большего модуля вычтем меньший модуль, то есть из , и получим 11.

Во втором примере мы вычислим сумму  и . ; . Значение модуля отрицательного слагаемого у нас больше значения модуля положительного слагаемого. А значит, сумма у нас будет со знаком «». Запишем разность большего и меньшего модулей со знаком «», то есть . Выполним вычитание в скобках и получим в результате .

В следующем примере нам надо найти сумму  и . Найдём модуль каждой дроби: ; . Чтобы сравнить значения модулей, приведём дробь  к знаменателю 6: .  . Сумма будет положительной, так как модуль положительной дроби больше, чем модуль отрицательной дроби. Отнимаем  от : . Сокращаем дробь  на 3 и получаем .

И в последнем примере нам надо найти сумму противоположных чисел  и . Мы с вами знаем, что сумма двух противоположных чисел равна 0. А значит, .

Второе задание: выполните сложение:

а) ; б) ; в) ; г) .

Решение: в этом задании мы будем складывать отрицательные числа. Для этого мы воспользуемся правилом сложения двух отрицательных чисел.

В первом примере надо найти сумму  и . Сначала найдём модули слагаемых. ; . Запишем сумму модулей и перед ней поставим знак «»: . Выполним вычисления и получим .

Во втором примере надо найти сумму  и . ; . Запишем сумму модулей и перед ней поставим знак «»: . Выполним вычисления и получим .

В следующем примере нам надо найти сумму двух отрицательных десятичных дробей  и . ; . Запишем сумму модулей и поставим перед ней знак «»:  Выполним вычисления и получим .

И последний пример . ; . Перед суммой модулей дробей поставим знак «»: . И, выполнив вычисления, получим .