Дифракция света

На прошлых уроках мы с вами знакомились с геометрической оптикой — разделом физики, в котором изучаются законы распространения света в прозрачных средах и законы его отражения от зеркальных поверхностей.

Как мы говорили с вами ранее, основным положением геометрической оптики является прямолинейность распространения света. Оно является основополагающим при построении изображений в оптических системах, объяснении образования тени и полутени, солнечного и лунного затмений.

Доказано, что если на пути пучка света поместить непрозрачный предмет, то на экране за ним образуется чёткая тень; если пучок света проходит сквозь отверстие, то на экране наблюдается чёткое светлое пятно, то есть прямолинейность распространения света подтверждена многочисленными экспериментами и нашим собственным жизненным опытом.

Однако от закона прямолинейного распространения света наблюдаются отклонения при его распространении в средах с резко выраженными неоднородностями. Причём отклонения существенно зависят от соотношения между длиной волны и размерами препятствий.

И действительно, стоя за углом дома, мы хорошо слышим, что едет автомобиль, хотя не видим его, поскольку находимся в области «тени». Получается, что звуковые волны как бы «заворачивают за угол», в то время как световым волнам этого сделать не удаётся.

Напомним, что явление огибания волнами препятствий, которое проявляется в отклонении направления распространения волн от прямолинейного, называется дифракцией.

При изучении дифракции механических волн мы с вами говорили, что для проявления дифракции размеры препятствий (или отверстий) должны быть меньше или сравнимы с длиной волны. Вот почему в рассмотренном нами примере звук мотора автомобиля смог «завернуть за угол», а свет, отражённый от автомобиля, — нет.

Первые упоминания о явлении дифракции света можно встретить в работах великого итальянца Леонардо да Винчи. Франческо Гримальди подробно описал его в 1665 году. Но лишь в самом начале XIX века учёные нашли объяснение этому явлению.

Итак, в 1802 году Томас Юнг ставит свой знаменитый опыт по наблюдению за интерференцией и дифракцией света. Напомним, что установке источником света служила ярко освещённая щель, от которой фронт волны падал на две узкие равноудалённые щели, параллельные первой. Возникшая в соответствии с принципом Гюйгенса сферическая волна от отверстия «А» возбуждала в отверстиях В и С когерентные колебания. Вследствие дифракции от этих отверстий выходили два световых конуса, которые частично перекрывались. Интерференционная картина наблюдалась на экране, расположенном параллельно щелям в области перекрытия волн. При этом в центре картины была расположена светлая полоса, а по краям радужные полоски в случае белого света, или чередование тёмных и светлых полос в случае света монохроматического. При этом Юнг обнаружил, что если закрыть одно из отверстий, то интерференционная картина исчезала.

Окончательное исследование дифракции света было завершено современником Юнга французским физиком Огюстеном Френелем при написании им конкурсной работы для Академии наук Франции. В начале Френель пытался объяснить явление дифракции с помощью принципа Гюйгенса, согласно которому, как мы помним, каждая точка, до которой доходит волна, является центром вторичных сферических когерентных волн. Огибающая же этих волн даёт положение нового фронта волны в следующий момент времени.

Однако, как оказалось, с помощью данного принципа можно решить задачу о направлении распространения волнового фронта, но нельзя выяснить, от чего же зависит амплитуда, и, как следствие, интенсивность волн, распространяющихся по разным направлениям. Поэтому Френелю пришлось развить этот принцип дальше, дополнив его идеей об интерференции вторичных волн. Таким образом, принцип Гюйгенса трансформировался в принцип Гюйгенса-Френеля, согласно которому, каждая точка фронта волны является источником вторичных сферических когерентных волн. Новый фронт волны образуется в результате интерференции вторичных волн.

Таким образом, согласно Френелю, дифракция света объясняется интерференцией вторичных волн от различных участков начального положения волнового фронта. А учёт амплитуд и фаз вторичных волн позволяет в каждом конкретном случае найти амплитуду, а, следовательно, и интенсивность результирующей волны в любой точке пространства.

Теперь давайте проведём такой опыт. Возьмём точечный источник монохроматического света, круглую диафрагму, диаметр которой можно изменять, и экран. Включив источник света при очень малом диаметре диафрагмы, мы наблюдаем на экране светлое пятно. Что же произойдёт, если увеличить диаметр отверстия. Как это не парадоксально, но в центре экрана мы увидим тёмное пятно — минимум интерференции. Ещё увеличим диаметр отверстия — дифракционная картина изменилась, а в её центре мы вновь наблюдаем максимум.

Для объяснения полученной дифракционной картины от круглого отверстия, Френель предложил разбить волновую поверхность на отдельные кольцевые зоны — зоны Френеля, — так, чтобы расстояние от соседних зон до точки наблюдения отличались ровно на половину длины волны. Диафрагма служит для того, что бы можно было ограничивать число действующих зон.

Если открыты только первые две зоны Френеля, то разность хода от них равна половине длины волны. Поэтому волны от этих зон приходят к экрану в противофазе и, как следствие, ослабляют друг друга. Поэтому в центре дифракционной картины мы наблюдаем тёмное пятно. Если же мы увеличим отверстие так, чтобы на освещённость экрана влияла ещё и третья зона, то в центре появляется светлое пятно. Таким образом, дифракционная картина от круглого отверстия вблизи точки В будет иметь вид чередующихся темных и светлых колец с центрами в точке В (если i — чётное, то в центре тёмное кольцо, если i нечётное — то светлое).

Следует учесть, что с увеличением номера зоны будет уменьшаться угол, под которым она видна из точки наблюдения. Вследствие этого уменьшаются и амплитуды волн:

Если принять, что первая зона вызывает в точке В колебания с амплитудой А₁, вторая — с амплитудой А₂ и так далее, то амплитуда колебаний в точке В будет определяться формулой, которую вы видите на экране:

Так как общее число зон Френеля, вмещающихся на полусфере радиусом, равным расстоянию от источника света до фронта волны, очень велико, то в первом приближении можно считать, что амплитуда колебаний от некоторой i-й зоны равна среднему арифметическому от амплитуд, примыкающих к ней зон:

Перепишем выражение для амплитуды колебаний в точке «Бэ» с учётом последнего уравнения:

Так как выражения, стоящие в скобках равны нулю, то амплитуда волны в центре дифракционной картины определяется полусуммой волн от первой и последней открытой зоны, когда их число нечётное. И их полуразностью при чётном числе зон Френеля.

Если считать, что общее число зон Френеля, вмещающихся на полусфере радиусом, равным расстоянию от источника света до фронта волны, очень велико, то A_i/2 ничтожно мала. Следовательно, амплитуда колебаний, создаваемая в произвольной точке сферической волновой поверхностью, определяется половиной амплитуды центральной зоны:

Теперь рассмотрим ΔМАО — он прямоугольный. Тогда используя теорему Пифагора, мы с вами легко можем определить радиус i-й зоны Френеля:

Упростим записанное равенство, учитывая, что h_i >> b и длина волны света мала:

Отсюда находим, что радиус первой зоны Френеля определяется квадратным корнем из длины световой волны и расстоянием от фронта волны до экрана:

Учитывая, что длина световой волны может принимать значения от 300 нм до 860 нм, получим, что радиус первой зоны Френеля намного меньше расстояния от фронта волны до экрана. Это говорит нам о том, что распространение света от источника света до точки «Бэ» (В) происходит так, будто световой поток распространяется внутри очень узкого канала, диаметр которого меньше радиуса первой зоны Френеля, то есть прямолинейно.

За свою конкурсную работу Огюстен Френель получил главный приз Академии наук Франции. Однако, некоторые учёные скептически отнеслись к работам Френеля, так как они послужили доказательством волновой теории света. В частности, член комиссии Пуассо́н обратил внимание на один парадоксальный результат: согласно Френелю за большим круглым непрозрачным телом прямо в середине его геометрической тени должно возникать небольшое светлое пятно:

Очевидную абсурдность этого результата Пуассон хотел использовать как главный аргумент против теории дифракции Френеля. Однако, другой член комиссии Доминик Франсуа Жан Араго поставил эксперимент, подтвердивший это предсказание. В итоге полученный результат, ставший известным как пятно Пуассона или пятно Араго — Пуассона, оказался весомым аргументом в пользу новой и более точной волновой теории света.

Волновая оптика показала, что все законы геометрической оптики выполняются достаточно точно лишь в том случае, если размеры препятствий на пути распространения света много больше длины световой волны. Но совершенно точно они не выполняются никогда.

Например, согласно законам геометрической оптики с помощью оптических микроскопов можно рассмотреть сколь угодно малые объекты (вплоть до атомов). А с помощью телескопов мы можем заглянуть в самые удалённые уголки Вселенной и установить существование не только звёзд, но и планетарных систем вокруг них. Однако в действительности это не так. И лишь волновая теория позволила разобраться в причинах предела разрешающей способности оптических приборов.

Разрешающей способностью прибора называется способность оптического прибора различать детали рассматриваемого объекта.

Волновая природа света налагает предел на возможность различать детали предмета или очень мелкие предметы при их наблюдении с помощью микроскопа. Дифракция не позволяет получить отчётливые изображения мелких предметов, так как свет распространяется не строго прямолинейно, а огибает предметы. Минимальное линейное расстояние между точками предмета или двумя предметами, которые можно различить с помощью микроскопа, определяется формулой, представленной на экране:

Если учесть, что показатель преломления стекла в среднем равен полутора, то получаем, что невозможно разрешить две детали объекта, размеры которых меньше длины световой волны:

Применение ультрафиолетового излучения позволяет повысить разрешающую способность линз. Использование же электронного микроскопа даёт возможность получать разрешение, во много раз превышающее разрешение оптического микроскопа.

Дифракция также налагает предел на разрешающую способность и телескопа. Вследствие дифракции волн у края оправы объектива изображением звезды будет не точка, а система светлых и тёмных колец. Если две звезды находятся на малом угловом расстоянии друг от друга, то эти кольца налагаются друг на друга, и глаз не может различить, имеются ли две светящиеся точки или одна. Предел разрешения оптического телескопа между светящимися точками, при котором их можно различать, определяется отношением длины волны к диаметру объектива:

Отсюда следует, что для уменьшения углового расстояния, которое разрешается телескопом, необходимо использовать объективы как можно большего диаметра.

Эти простые примеры показывают, что с дифракцией нужно считаться всегда, при любых препятствиях, и даже в случаях препятствий, размеры которых значительно больше, чем длина волны.