Окружность, описанная около правильного многоугольника

На этом уроке мы вспомним, какую окружность называют описанной около многоугольника. Докажем теорему об окружности, описанной около правильного многоугольника.

Для начала давайте вспомним определение правильного многоугольника. Итак, правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны. Так как у правильного многоугольника все углы равны, то угол правильного n-угольника можно вычислить по формуле: альфа энное равно 180 градусов умножить на эн минус два деленное на н, где n – количество сторон (углов) правильного n-угольника.

И вспомним еще определение описанной окружности.

Определение. Окружность называется описанной около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на этой окружности. При этом многоугольник называется вписанным в эту окружность.

Докажем теорему об окружности, описанной около правильного многоугольника.

Теорема. Около любого правильного многоугольника можно описать                  окружность, и притом только одну.

Доказательство.

Пусть  – правильный многоугольник.

Рассмотрим .

Так как ,то .

Следовательно,  –  равнобедренный.

Значит, .

Рассмотрим  и .

 – общая сторона и  .

Следовательно,   по двум сторонам и углу между ними.

Отсюда, .

Тогда точка  равноудалена от всех вершин многоугольника.

Значит, окружность с центром в точке  и радиусом  является описанной

около многоугольника.

.

Тогда точка  равноудалена от всех вершин многоугольника.

Значит, окружность с центром в точке  и радиусом  является описанной около многоугольника.

Рассмотрим вершины ,  и .

Так как через эти точки проходит только одна окружность,  можно описать только одну окружность. 

Теорема доказана.

Задача. Правильный многоугольник вписан в окружность с центром в точке . Длина одной стороны многоугольника равна  см. Найдите периметр правильного многоугольника , если .

Решение. Так как у правильного многоугольника все стороны равны, то для нахождения периметра нужно знать число его сторон.

Пусть многоугольник имеет  сторон.

Рассмотрим .

Точка  равноудалена от всех вершин многоугольника.

Значит, .

Следовательно,  –  равнобедренный.

 (см)

Ответ:  (см).

Подведем итоги урока. На этом уроке доказали теорему об окружности, описанной около правильного многоугольника. А именно, что около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.