Вероятность события

Сегодня на уроке мы вспомним, какие события называют случайными, достоверными и невозможными. Напомним, какие события называются элементарными. Выясним, что называют вероятностью события. Познакомимся с формулой нахождения вероятности события.

Прежде чем приступить к рассмотрению новой темы, давайте вспомним, что событие называют случайным по отношению к некоторому испытанию (опыту), если в ходе этого испытания оно может произойти, а может и не произойти.

Примерами случайных событий являются выпадение решки при подбрасывании монеты; выпадение шестёрки при подбрасывании игральной кости; выигрыш по данному лотерейному билету.

Случайные события обычно обозначают большими буквами латинского алфавита , ,  и т. д.

Событие  называют достоверным по отношению к некоторому испытанию, если в ходе этого испытания событие  обязательно произойдёт.

Событие  называют невозможным по отношению к некоторому испытанию, если в ходе этого испытания событие  заведомо не произойдёт.

Пусть, например, в коробке находятся только чёрные шары, а опыт заключается в извлечении шара из коробки. Тогда событие «извлечён чёрный шар» является достоверным, а событие «извлечён красный шар» – невозможным, так как в данной коробке нет красных шаров.

Также вспомним, какие события называют элементарными. Предположим, что в результате некоторого испытания обязательно происходит одно из взаимоисключающих друг друга событий, причём каждое из них не разделяется на более простые. Такие события называют элементарными событиями (или элементарными исходами испытания).

Так, например, при бросании монеты существует два элементарных события: появление орла и появление решки.

Теперь перейдём к рассмотрению новой темы. Пусть событие  связано с испытанием, которое имеет  равновозможных элементарных исходов. То есть у каждого из этих элементарных исходов шансы появиться равны.

И пусть событие  наступает тогда, когда осуществляется один из каких-то  элементарных исходов (), и не наступает тогда, когда осуществляется любой из оставшихся () исходов. Тогда говорят, что указанные  исходов, приводящие к наступлению события , благоприятствуют событию .

Сформулируем определение. Вероятностью  события  в испытании с равновозможными элементарными исходами называется отношение числа исходов , благоприятствующих событию , к числу  всех исходов испытания.

Таким образом, вероятность события  определяется формулой . Здесь  – число всех исходов испытания,  – число исходов, благоприятствующих событию , .

Отметим, что приведённое определение вероятности называют классическим определением вероятности.

Обратите внимание, что в испытании с  равновозможными исходами вероятность наступления каждого элементарного события равна .

Вообще . В начале урока мы с вами вспоминали, какие события называют невозможными и достоверными. Так, , . Всё это следует из приведённой формулы для нахождения вероятности события.

Сейчас давайте рассмотрим задачу. Бросают игральную кость. Найдите вероятность события  – выпало нечётное число, и события  – выпало число, кратное 3.

Решение. В испытании с бросанием игральной кости число всех возможных элементарных исходов испытания равно 6. Это выпадение числа 1, выпадение числа 2, …, выпадение числа 6. Таким образом, .

Событию  (выпало нечётное число) благоприятствую три исхода (числа 1, 3, 5), то есть . Тогда .

Событию  (выпало число, кратное трём) благоприятствуют два исхода (числа 3 и 6), то есть . Тогда .

А теперь выполним несколько заданий.

Задание первое. Брошены две игральные кости. Найдите вероятность события  – произведение выпавших очков есть нечётное число.

Решение.

Задание второе. На вершину горы ведут 4 одинаково удобные тропы. Какова вероятность того, что вы подниметесь на гору и спуститесь с неё тем же маршрутом, которым проходил там ваш товарищ?

Решение.

Задание третье. В ящике лежат 10 одинаковых на ощупь шаров, из них 4 белых и 6 чёрных. Наугад вынимается 2 шара. Найдите вероятность событий  и , если событие  – оба вынутых шара белого цвета, событие  – вынутые шары имеют разный цвет.

Решение.

Задание четвёртое. В корзине есть 20 яблок, одинаковых на вид. 15 из них – сладкие, а 5 – кислые. Какова вероятность события А – взятые наугад два яблока окажутся кислыми?

Решение.

Задание пятое. Из перевёрнутых 28 костяшек домино наугад берут одну. Какова вероятность того, что на одной из её частей окажется 1 очко?

Решение.