Правильные и неправильные дроби. Сравнение дробей

Два друга – Саша и Паша – гуляли во дворе и разговаривали. И тут Саша вспомнил, что их друг – робот Электроша – недавно рассказывал им про обыкновенные дроби.

– Паша, а ты помнишь, как нам Электроша рассказывал про обыкновенные дроби?

– Да, Саша, помню, – ответил мальчик. – Электроша говорил, что записи такого вида называют обыкновенными дробями или просто дробями. Он ещё говорил, что у каждого компонента дроби есть своё название.

– Ага, я помню, – согласился с другом Саша. Над чертой – это числитель, а под чертой – знаменатель. Вроде я ничего не путаю.

– А помнишь, – продолжил Саша, – Электроша обещал нам рассказать о том, какие ещё бывают дроби. Пойдём к нему и расспросим обо всём.

И мальчики пошли к своему другу Электроше.

– Привет, Электроша. Помнишь, когда ты рассказывал об обыкновенных дробях, ты говорил, что бывают ещё и другие виды дробей. Вот мы и пришли к тебе, чтобы ты нам рассказал, какие же «необыкновенные» дроби ещё бывают.

– Хорошо, ребята, сейчас я вам всё расскажу. Но сначала выполните несколько устных заданий.

– Итак, приступим. Давайте рассмотрим дробь, у которой числитель равен знаменателю. Саша, ты помнишь, что обозначает числитель, а что знаменатель?

– Да, Электроша, помню, – ответил мальчик. Знаменатель дроби показывает, на сколько равных частей надо разделить что-то целое, а числитель показывает, сколько таких частей надо взять.

Электроша продолжил:

– Давайте посмотрим на эту дробь . Паша, ты можешь её прочитать и объяснить?

– Да, могу. «Шесть шестых». Что-то целое надо разделить на 6 частей и взять 6 частей. Подожди, Электроша. Но если что-то, например пиццу, разделить на 6 кусков и взять все 6 кусков, то это значит, что мы взяли целую пиццу.

– Да, Паша, ты абсолютно прав. Если числитель равен знаменателю, то такая дробь равна единице.

В буквенном виде это можно записать так: . Здесь  – это любое натуральное число.

А теперь давайте посмотрим на эту дробь . Что в ней непривычного?

– У неё чиcлитель больше знаменателя, – сказал Саша.

– Да, это действительно так, – согласился Электроша. Давайте подумаем, как можно понять такие дроби. Чтобы нам было удобнее, изобразим прямоугольник.

Саша решил сам объяснить дробь: знаменатель равен 7, значит, прямоугольник надо разделить на 7 равных частей. Нам надо взять 9 частей. Но в прямоугольнике их всего 7. Как же быть?

Робот успокоил мальчика: ничего страшного, давай нарисуем ещё один такой же прямоугольник и точно так же разделим его на 7 частей. Тогда нам у второго прямоугольника надо взять 2 части. И вместе у нас получится .

– Вам понятно? – спросил робот у ребят.

– Да, – ответили мальчики.

У дробей такого вида есть особое название.

Дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему, называют неправильной дробью.

– А вы сами можете мне сказать, какие дроби называют правильными? – спросил Электроша.

Паша решил ответить:

– Наверное дроби, у которых числитель меньше знаменателя. Да? Я прав?

– Правильно, – согласился с мальчиком Электроша. Дробь, у которой числитель меньше знаменателя, называют правильной.

– Ну раз вам ясно, выполните задание. Среди записанных дробей выберите правильные дроби, неправильные дроби: .

Паша, начинай ты.

– Итак, – начал рассуждения мальчик, – числитель первой дроби равен 7, а знаменатель – 3. Числитель больше знаменателя, значит, перед нами неправильная дробь.

Вторая дробь – . Числитель равен знаменателю, значит, эта дробь неправильная и она равна 1.

Числитель третьей дроби меньше знаменателя, значит,  – это правильная дробь.

– Ты молодец, Паша. Теперь очередь Саши немного порешать.

– Итак, – начал Саша. – Числитель и знаменатель дроби равны, значит, это неправильная дробь и она равна 1.

Числитель дроби –  больше, чем знаменатель, – отнесём дробь к неправильным.

5 меньше 13 – значит, дробь  – это правильная дробь.

– Вы хорошо справились, – похвалил мальчиков Электроша.

Сравните, пожалуйста, 5 и 7.

– Ну, это легко, – сказал Саша. Конечно же, 7 больше 5.

– А теперь попробуйте сравнить  и .

– Ой, а мы не умеем! – воскликнул Паша. Как, разве дроби можно сравнивать?

– Конечно, можно, – ответил робот. Это же числа. Их можно сравнивать, складывать, отнимать, умножать, делить и так далее, но об этом мы поговорим позже.

Сегодня мы научимся сравнивать дроби.

Итак, давайте начертим два равных прямоугольника. Посмотрите на эти дроби. Что вы про них можете сказать?

– Знаменатели этих дробей одинаковые, – сказал Саша.

– Правильно, – ответил Электроша, – раз знаменатели у них одинаковые, значит, и делить прямоугольники мы будем на одно и то же количество частей. Прямоугольники у нас равны, значит, и части обоих прямоугольников у нас будут равны. Закрасим у первого прямоугольника 5 частей, ведь числитель первой дроби равен 5. А у второго прямоугольника – 7 частей. Теперь посмотрите внимательно на наши прямоугольники. У какого из них закрашено больше частей?

– У второго, – сказал Саша.

– Да, ты прав. У второго прямоугольника закрашена больше, чем у первого, поэтому мы можем написать, что  больше, чем .

Сформулируем правило: из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше, а меньше та, у которой числитель меньше.

Если вам всё понятно, то выполните задание.

Сравните дроби: .

– Можно, я начну? – спросил Саша.

– Да, начинай, – согласился Электроша.

– Знаменатели обеих дробей равны. Числитель первой дроби равен 3, а числитель второй дроби равен 5. 3 меньше 5, значит,  меньше .

– Молодец, Саша. А скажи, чему равна дробь ? – спросил у мальчика робот.

– Ну, это просто. Числитель равен знаменателю, значит, дробь  равна 1.

– И получается, что  меньше 1? – удивился мальчик.

– Да, Саша, – сказал Электроша. – Запомните правило: все правильные дроби меньше единицы.

Теперь, Паша, сравни вторую пару дробей.

– Знаменатели обеих дробей равны, – начал Паша. 7 больше 6, значит, получим, что  больше .

Правильно, и из этого примера тоже можно сформулировать правило.

Паша, может, ты сам попробуешь рассказать нам правило?

– Хорошо, попробую.  равно 1.  – это неправильная дробь, потому что числитель больше знаменателя. Получается, что неправильная дробь больше единицы. Так?

– Да, – сказал робот. – Ты прав. Все неправильные дроби больше или равны единице.

А теперь давайте ещё раз посмотрим на эти пары дробей.

И заменим дроби  и  единицами.

У нас получилось, что , а .

Тогда мы можем записать, что , и сформулировать свойство:

Любая неправильная дробь больше любой правильной дроби, а каждая правильная дробь меньше любой неправильной дроби.

Обратите внимание, что, когда речь идёт о сравнении правильной и неправильной дроби, не имеет значения, какой у этих дробей знаменатель – одинаковый или нет.

– Я всё понял, – сказал Саша. То есть я даже могу сравнить дроби, ну, например,  и ?

– Да, Саша. Сравни дроби, которые ты записал.

И мальчик начал решать.

– Числитель первой дроби больше знаменателя, значит, это неправильная дробь.

Числитель второй дроби меньше знаменателя – это правильная дробь.

А неправильная дробь всегда больше правильной. Значит, можно записать, что .

– Молодец, Саша, ты всё правильно решил.

– Теперь давайте с вами начертим координатный луч и отметим на нём единичный отрезок и точки с координатами  и .

– Обратите внимание, – сказал Электроша, – на координатном луче из двух дробей большая дробь расположена правее меньшей.

– Ага, – сказал Паша, – я понял.

– А раз понял, – продолжил робот, – выполните ещё одно задание.

Точка с какой координатой будет располагаться на координатном луче правее: ?

– А можно, я решу это задание? – спросил у робота Саша.

– Да, конечно.

– Для того, чтобы ответить на вопрос, нам надо сравнить координаты этих точек. Знаменатели дробей одинаковые, значит, большей будет та дробь, у которой числитель больше. То есть это . Получается, что точка с координатой  на координатном луче лежит правее, чем точка с координатой .

– Ты очень хорошо справился с заданием, Саша.

Теперь давайте попробуем сравнить вот эти дроби: , .

Для того, чтобы было удобнее сравнивать, давайте начертим два одинаковых прямоугольника и разделим один на 5 частей, а второй – на 10.

Сколько нам надо закрасить частей в каждом прямоугольнике, Паша?

– Поскольку числитель первой дроби равен 3, то и закрашивать надо 3 части.

Числитель второй дроби тоже равен 3, поэтому и во втором прямоугольнике надо закрасить 3 части.

– Да, ты всё правильно сказал. Посмотрите на закрашенные части и скажите, какая часть больше?

– Во втором прямоугольнике закрашенная часть меньше, чем в первом.

Получается, что .

– А как вы думаете, ребята, почему так получилось? Ведь мы же закрашивали одинаковое количество частей.

Мальчики задумались, и тут Паша сказал:

– Я понял. Мы делили прямоугольники на разное количество частей, вот эти части и получились разными.

– Ты совершенно прав. Нетрудно увидеть, что чем больше количество частей, тем меньше сами части. Например, если разрезать пиццу на 3 части и на 6 частей. Размер кусков получится разный.

Поэтому можно составить такое правило:

Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.

Вам всё понятно, мальчики?

– Да, Электроша, мы всё поняли, – сказали ребята.

– Это хорошо, тогда вам нетрудно будет выполнить ещё одно моё задание.

Сравните дроби: .

Решать начал Паша.

– Первая пара дробей – дроби с одинаковыми знаменателями. А мы помним правило. Получим, что дробь .

Саша продолжил решение.

Дробь  – неправильная, так как числитель больше знаменателя. А дробь  – правильная. Вспомним правило и запишем, что .

И последнюю пару дробей сравнить несложно. Это дроби с одинаковым числителем. Мы помним, как сравниваются такие дроби, и можем записать, что .

– И с этим заданием вы отлично справились, – похвалил мальчиков Электроша.