Вспомним основные моменты. Пусть –
произвольная точка, которая лежит в некоторой окрестности фиксированной точки
. Разность
называется приращением
независимой переменной (или приращением аргумента) в точке
и
обозначается
.
Таким образом, . Тогда
.
Говорят, что первоначальное значение аргумента получило
приращение
.
При этом, если мы изменяем аргумент, то и значение функции тоже будет
изменяться на величину:
.
Приращением функции в точке
,
соответствующим приращению
, называется
разность
и
обозначается дельта
.
Напомним, что производной функции в точке
называется предел отношения приращения
функции в этой точке
к приращению аргумента
при
.
Если функция имеет
производную в точке
, то данная
функция называется дифференцируемой в этой точке.
Если функция имеет
производную в каждой точке некоторого промежутка, то говорят, что эта функция
дифференцируема на этом промежутке.
Операция нахождения производной называется дифференцированием.
Геометрический смысл производной заключается
в том, что значение производной функции в точке
равно
угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке с координатами
, то есть
, где
– угол между
касательной и осью
.
Уравнение касательной к графику
функции ,
дифференцируемой в точке
, имеет вид:
.
Физический смысл производной. Если
точка движется вдоль оси и её
координата изменяется по закону
, то
мгновенная скорость точки
, а ускорение
.
Напомним правила нахождения производной. Если функции и
имеют
производные, то:
;
;
;
,
.
Также вспомним, как находить производную сложной функции. Если
функция имеет
производную в точке
, а функция
имеет
производную в точке
, то сложная
функция
также имеет
производную в точке
, причём
.
На следующем слайде приведены производные основных элементарных функций.
Мы с вами повторили основные моменты, а теперь давайте перейдём к практической части занятия.
Задание
первое. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой
.
Решение.
Задание
второе. Чему равен угловой коэффициент касательной к графику
в точке с абсциссой
?
Решение.
Задание
третье. Точка движется вдоль оси ,
и её координата изменяется по закону
. Найдите скорость точки
в момент времени
.
Решение.
Задание четвёртое. Найдите производные функций:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Решение.
Задание пятое. Найдите производные функций:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Решение.