Меню
Видеоучебник
Видеоучебник  /  Геометрия  /  7 класс  /  Геометрия 7 класс  /  Признаки равенства прямоугольных треугольников

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Урок 24. Геометрия 7 класс

На данном уроке говорим о признаках равенства прямоугольных треугольников по двум катетам, по катету и прилежащему острому углу, по гипотенузе и острому углу, по гипотенузе и катету. Мы доказываем эти признаки, а также, используя их, решаем задачи.

Конспект урока "Признаки равенства прямоугольных треугольников"

Первый признак равенства треугольников:

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второй признак равенства треугольников:

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Воспользуемся первым и вторым признаками равенства треугольников и докажем следующие признаки равенства прямоугольных треугольников.

Теорема (о равенстве прямоугольных треугольников по двум катетам):

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Возьмём два прямоугольных треугольника АВС и А1В1С1. Пусть катет АС=А1С1, а катет ВС=В1С1. В прямоугольном треугольнике угол между катетами прямой, а любые два прямых угла равны. То есть ∠С=С1=90 градусов. Получаем, что треугольники АВС и А1В1С1 равны по первому признаку равенства треугольников. Теорема доказана.

Теорема (о равенстве прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу):

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть АВС и А1В1С1 - прямоугольные треугольники, и катет АС=А1С1, а ∠А=∠А1. А также ∠С=∠С1=90 градусов. Следовательно, получаем, что треугольники АВС и А1В1С1 равны по второму признаку равенства треугольников. Теорема доказана.

Теорема (о равенстве прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу):

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть АВС и А1В1С1 - прямоугольные треугольники, у которых ∠С=∠С1=90 градусов. Гипотенузы АВ и А1В1 равны. Углы А и А1 также равны. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90 градусов, то есть:

Получаем:

Таким образом, получили, что гипотенуза АВ и два прилежащих к ней угла треугольника АВС соответственно равны гипотенузе А1В1 и двум прилежащим к ней углам треугольника А1В1С1. Следовательно, треугольники равны по второму признаку равенства треугольников. Теорема доказана.

Теорема (о равенстве прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету):

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольнике равны.

Доказательство:

Пусть АВС и А1В1С1 - прямоугольные треугольники, у которых ∠С=∠С1=90 градусов. Гипотенуза АВ=А1В1 и катет АС=А1С1.

Приложим треугольники друг к другу равными катетами, получаем:

Получили равнобедренный треугольник В1АВ. АС - высота, проведённая из вершины. Тогда АС является и медианой, то есть В1С=СВ.

В результате получаем, что у прямоугольных треугольников АВС и А1В1С1 равны и вторые катеты. А следовательно, эти треугольники равны по трём сторонам (или по двум катетам). Теорема доказана.

Пример.

На рисунке отрезки СА и DB перпендикулярны прямой АВ, отрезок ОА=ОВ. Доказать, что отрезок СА=DB.

Рассмотрим прямоугольные треугольники АСО и BDO. АО=OB по условию задачи. Углы AOC и BOD равны как вертикальные.

Тогда треугольники АСО и ВDО равны по катету и острому углу. Откуда отрезки СА и DB равны как стороны равных треугольников. Что и требовалось доказать.

Пример.

В треугольниках АВС и А1В1С1 углы С и С1 - прямые, а отрезки АD и A1D1 - биссектрисы. Доказать, что треугольники АВС и А1В1С1 равны, если АD=А1D1 и ∠ВАС=∠В1А1С1.

Рассмотрим прямоугольные треугольники АСD и А1С1D1. У них гипотенуза АD=А1D1. Углы САD и С1А1D1 равны как половины равных углов САВ и С1А1В1. Получаем, что треугольники АСD и А1С1D1равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, АС и А1С1 равны как стороны равных треугольников. Тогда и треугольники АВС и А1В1С1 равны, так как катет АС=А1С1 и ∠ВАС=∠В1А1С1. Что и требовалось доказать.

1
20964

Комментарии 1

Чтобы добавить комментарий зарегистрируйтесь или на сайт

Макар Хомич, 21.05.2020 08:11

Ничего не понял, но очень интересно.