Координаты, координаты, координаты…

Географическая карта (будь то карта мира, одной страны или города) покрыта сетью тонких линий. Линии, которые проходят сверху вниз от Северного полюса к Южному, называются меридианами. Другие линии, перпендикулярные меридианам, называются параллелями.

Представим карту мира вот в таком виде…

Экватору на карте соответствует горизонтальная линия, которая делит карту пополам.

Горизонтальные линии – это параллели. Они показывают географическую широту в градусах, то есть насколько удалена (в градусах) данная точка от экватора. Все точки экватора имеют нулевую широту. Широты, расположенные выше экватора, называют северными широтами, а ниже экватора – южными широтами. Северному полюсу соответствует значение  северной широты, а Южному полюсу –  южной широты.

Например, Москва находится севернее экватора на широте примерно  (говорят:  северной широты).

Для определения местонахождения широты этого недостаточно. Нужна вторая координата – долгота. Она измеряется в градусах.

Посмотрите на вертикальные линии на карте – это меридианы. Среди всех меридианов выбран начальный (нулевой) меридиан. Он проходит через Гринвичскую обсерваторию в Англии, и поэтому его называют Гринвичским меридианом. Ему соответствует нулевая долгота. Все точки справа (восточнее) от него имеют восточную долготу. Она изменяется от  до . В частности, Москве соответствует точка, равная  восточной долготы. Все точки слева (западнее) от Гринвичского меридиана имеют западную долготу. Она изменяется от  до .

Меридианы и параллели образуют на поверхности земного шара координатную сетку. Указывая широту и долготу точки, мы указываем её координаты, то есть положение точки на карте.

На поверхности земного шара (или на его модели – глобусе) параллелям соответствуют окружности, которые параллельны экватору. Их радиусы уменьшаются по мере удаления от экватора, стягиваясь к нулю у полюсов. А вот меридианам соответствуют одинаковые полуокружности, которые проходят через полюсы.

Изменению широты на  на всех меридианах соответствует один и тот же путь (одна и та же дуга). А вот изменению долготы на  на разных параллелях соответствуют разные пути. Большой – у экватора, маленький – у полюсов.

Что касается координат на плоскости, то каждый из вас так или иначе с ними знаком. Например, занимая место в зале кинотеатра, вам недостаточно знать только номер ряда или только номер кресла. Чтобы отыскать нужное место, надо знать и номер ряда, и номер кресла, то есть две координаты.

Наверное, многие из вас знакомы с игрой «Морской бой». Клетки доски в этой игре обозначаются парой – буквой и числом.

Клетки доски можно обозначить парой чисел. Первое число – номер столбца, а второе – номер строки. Так, клетка, отмеченная на рисунке, обозначается парой чисел: . Можно сказать, что эта пара чисел является координатами отмеченной клетки.

Давайте изобразим прямую. Отметим на ней точку О, которая будет изображать число 0. Эту точку назовём началом отсчёта.

Выберем на этой прямой одно из двух возможных направлений и назовём его положительным. Положительное направление указывают стрелкой. Противоположное направление называют отрицательным.

Луч, идущий в положительном направлении от начала отсчёта, называют положительным. Луч, идущий в отрицательном направлении от начала отсчёта, называют отрицательным.

Выберем на этой прямой единичный отрезок.

Прямую, на которой отмечено начало отсчёта, выбрано положительное направление и указан единичный отрезок, называют координатной осью (или координатной прямой).

На координатной оси можно изобразить как положительные числа и 0, так и отрицательные. Последовательно откладывая единичный отрезок на положительном луче, мы отметим на нём числа 1, 2, 3, 4 и так далее.

Последовательно откладывая единичный отрезок от начала отсчёта в отрицательном направлении, мы отметим числа , ,  и так далее…

Такую прямую называют координатной, потому что каждая точка на этой прямой имеет координату. Так называют то число, которое изображает эта точка. Например, точка А имеет координату 3. Пишут: . Точка C имеет координату .

Координатная прямая может быть расположена и вертикально. В этом случае положительными считаются координаты точек, находящихся выше точки О, а отрицательными – ниже точки О.

Вертикальная координатная прямая похожа на термометр. На нём тоже есть 0, положительные и отрицательные числа, обозначающие температуру.

Перейдём к плоскости. Координаты на плоскости можно задавать различными способами, но у всех способов есть одно общее свойство: координаты точки плоскости – это пара чисел, из которых одно число является первым и указывается первым, а другое, соответственно, вторым.

Математики такую пару чисел называют упорядоченной.  Наиболее распространённым способом задания координат на плоскости, после чего эта плоскость становится координатной, является следующий.

Изобразим две перпендикулярные координатные оси таким образом, чтобы их начала отсчёта совпали. Обозначим точку их пересечения точкой О. Её называют началом координат. Единичные отрезки на каждой оси выбираются равными. Одну из этих осей, обычно горизонтальную, называют осью икс (или осью абсцисс), а вторую – осью игрек (или осью ординат). Такую координатную систему называют декартовой (по имени великого французского математика Рене Декарта, работы которого положили начало одному из важнейших методов исследования – методу координат).

Плоскость, на которой задана система координат, называют координатной плоскостью.

Пусть А – точка на координатной плоскости. Проведём через неё прямую, перпендикулярную оси . Эта прямая пересекает ось абсцисс в точке с координатой . Теперь проведём через точку А прямую, перпендикулярную оси . Она пересекает ось ординат в точке с координатой .

Числа  и  определяют положение точки А на координатной плоскости.

Эту пару чисел называют координатами точки  и записывают так: . Первую координату () называют абсциссой точки А, а вторую координату () называют ординатой точки А.

А сейчас давайте отметим на координатной плоскости точку .

Обратите внимание, что числа в скобках менять местами нельзя. Абсциссу всегда ставят на первое место, а ординату – на второе.

На оси  находим абсциссу точки B. Она равна 5. Проведём через неё прямую, перпендикулярную оси . Затем на оси  находим ординату точки B. Она равна . Проведём через неё прямую, перпендикулярную оси . Точка, в которой пересекаются эти прямые, и есть точка B.

Точка О имеет координаты .

Чтобы получить декартову систему координат в пространстве, надо к двум осям  и  добавить ещё одну ось , перпендикулярную этим осям и с тем же началом координат. Каждой точке пространства соответствует три координаты (три числа – , , ).

Есть и другие способы задания координат на плоскости. Поговорим об одном, хотя и реже используемом, но очень полезном. Речь пойдёт о «полярных координатах».

Укажем на плоскости точку 0, которая будет называться полюсом. Затем проведём из этой точки луч – полярную ось. Зададим единичный отрезок для измерения длин отрезков.

Пусть на плоскости задана некоторая точка М. Расстояние от точки полюса до точки М называют полярным радиусом. Но знание полярного радиуса не позволяет однозначно получить точку М, так как точек, которые находятся на таком расстоянии от полюса, бесконечно много (все они находятся на окружности такого радиуса).

Поэтому зададим угол, на который надо повернуть полярную ось до её совмещения с отрезком. Его называют полярным углом.

Таким образом, каждая точка плоскости задаётся двумя полярными координатами: углом и расстоянием.

Расстояние показывает, как далеко точка находится от полюса, а угол показывает поворот полярной оси против часовой стрелки до положения, когда она пройдёт через нужную точку. Полному повороту соответствует угол , и полярный угол изменяется от  до .

Изобразим в полярных координатах точку . В первую очередь отложим полярный угол, равный . Далее на стороне угла от полюса отложим расстояние, равное 3. В результате точка А построена.

Если вы ходили в поход, то знакомы с таким понятием, как азимут. Туристы обычно пользуются в походах полярными координатами. Азимут – это угол между направлением на север и направлением на некоторый предмет из точки, где находится турист.