Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника

Давайте вспомним, что по величине углов выделяют остроугольные, прямоугольные и тупоугольные треугольники. А также отметим, что сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны - катетами.

Сумма углов любого треугольника равна 180 градусов.

Теорема:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла лежит большая сторона.

Доказательство:

1. Докажем, что против большей стороны лежит больший угол.

Возьмём некоторый треугольник АВС. Пусть АВ>ВС. Отложим сторону ВС на стороне АВ, то есть отрезок ВЕ=ВС.

Так как получается, что треугольник ЕВС - равнобедренный, то углы при основании равны.

В треугольнике АЕС ∠А<∠1, так как внешний угол больше любого внутреннего, не смежного с ним. В треугольнике АВС ∠С>∠2.

Получаем:

То есть, против большей стороны АВ лежит больший ∠С. Что и требовалось доказать.

2. Докажем, что против большего угла лежит большая сторона.

Пусть ∠С>∠А треугольника АВС.

Предположим, что АВ<ВС, то по доказанной первой части данной теоремы ∠С<∠А. Получили противоречие.

Если АВ=ВС, то получается, что треугольник АВС равнобедренный, а тогда ∠С=∠А. Снова противоречие.

Так как в каждом из предыдущих случаев наше предположение неверно, тогда получаем, что АВ>ВС. Теорема доказана.

Следствие:

В прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза АВ больше катетов АС и ВС. Действительно, верно, так как гипотенуза лежит против прямого угла, а катеты - против острых, градусная мера которых меньше 90 градусов.

Признак равнобедренного треугольника:

Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

Доказательство:

Пусть АВС треугольник, у которого углы А и С равны. Докажем, что равны стороны АВ и ВС, лежащие против этих углов.

Предположим, что АВ>ВС. Тогда по предыдущей теореме ∠С, лежащий против большей стороны АВ, будет больше ∠А, лежащего против меньшей стороны ВС. Получили противоречие условию равенства углов А и С.

Предположение неверно и стороны АВ и ВС равны, то есть треугольник АВС является равнобедренным. Что и требовалось доказать.

Пример.

В треугольнике АВС сторона АВ=9 см, а сторона ВС=14 см. Какой из углов является большим - А или С?

По теореме о соотношениях между сторонами и углами треугольника против большей стороны лежит больший угол. Следовательно, получаем:

Так как ∠A лежит против большей стороны ВС.

Пример.

В треугольнике АВС ∠А=45 градусов, а ∠В=65 градусов. Верно ли, что сторона АС больше каждой из сторон АВ и ВС?

По теореме о сумме углов треугольника, получаем:

Воспользовавшись теоремой о соотношениях между сторонами и углами треугольника, выяснили, так как против большего угла лежит большая сторона, а в нашем случае большую градусную меру имеет ∠С, то большей стороной треугольника является сторона АВ.

Ответ: неверно, что сторона АС больше каждой из сторон АВ и ВС