Меню
Видеоучебник
Видеоучебник  /  Математика  /  Подготовка к ЕГЭ по математике  /  Элементарные функции, их свойства и графики

Элементарные функции, их свойства и графики

Урок 20. Подготовка к ЕГЭ по математике

В этом видеоуроке мы вспомним основные элементарные функции и рассмотрим их графики. Повторим основные приёмы преобразования графиков.

Конспект урока "Элементарные функции, их свойства и графики"

Вспомним основные элементарные функции и рассмотрим их графики. Итак, линейная функция. Функция , где  и  – некоторые действительные числа, а  – переменная, называется линейной.

Область определения линейной функции, область значений при  состоит из одного числа , при  – .

При  функция возрастает, при  – убывает, при  является постоянной.

Графиком линейной функции является прямая, для её построения достаточно двух точек.

По уравнениям линейных функций  и  можно судить о расположении их графиков.

Если , то прямые параллельны; если  – перпендикулярны.

Угол  между прямыми можно найти по формуле: .

Квадратичная функция. Функция , где  ,  и  – действительные числа и  – переменная, называется квадратичной.

Областью определения квадратичной функции является множество действительных чисел.

Графиком квадратичной функции является парабола, ветви которой при  направлены вверх, а при  – вниз.

Вершина параболы в точке , где , .

Положение параболы относительно  зависит от дискриминанта.

Степенные функции. Рассмотрим функции вида , , где . Область определения этих функций – .

Область значений функции  – , область значений функции  – .

Функция  возрастает на всей области определения, а функция  на промежутке  убывает и на промежутке  возрастает.

Функция  является чётной, её график симметричен относительно оси ординат.

Функция  является нечётной, её график симметричен относительно начала координат.

Рассмотрим функцию вида .

Области определения и значений – все действительные числа, кроме нуля.

Функция на каждом из двух промежутков области определения убывает при  и возрастает при .

График функции называется гиперболой. Функция нечётная, график симметричен относительно начала координат.

И рассмотрим ещё функции вида , , где .

Область определения и область значений функции  – , а функции  – .

Обе функции возрастают на своей области определения.

Функция  является нечётной, её график симметричен относительно начала координат.

И осталось ещё вспомнить основные приёмы преобразования графиков.

Итак, пусть дан график функции .

График функции , где , получается из графика функции  сдвигом вдоль оси абсцисс на  а единиц влево для  и на  единиц вправо для .

График функции , где , получается из графика функции  сдвигом его вдоль оси ординат на  единиц вверх для  и на  единиц вниз для .

График функции  при  получается из графика функции  деформацией исходного графика  вдоль оси ординат: растяжением в  раз при  или сжатием в  раз при .

При  происходит симметричное отражение графика  относительно оси абсцисс, а при  и  происходит отражение сначала относительно оси абсцисс с последующим необходимым деформированием этого графика.

График функции  при  получается из графика функции  деформацией исходного графика вдоль оси абсцисс: сжатием в  раз при  или растяжением в  раз при .

При  предварительно необходимо симметрично отобразить график  относительно оси ординат, а затем осуществить необходимую деформацию этого графика.

График функции  строится как комбинация первых двух пунктов, а именно:  сначала деформируется в  раз, а затем переносится на  единиц в нужную сторону.

График функции  получается из графика функции  следующим образом: часть графика, лежащая над осью абсцисс, остаётся без изменения, а часть графика, находящаяся под осью абсцисс, отражается симметрично относительно оси абсцисс. Таким образом, ниже оси абсцисс графика нет.

График функции  получается из графика функции и следующим образом: вместо левой (относительно оси ординат) части графика изображается отражённая (относительно оси ординат) правая. При этом правая часть графика остаётся без изменения.

Основные моменты мы с вами повторили, а теперь давайте перейдём к практической части занятия.

Задание первое. Функция задана графиком. Укажите область определения этой функции.

1)  2)  3)  4)

Решение.

Задание второе. Укажите множество значений функции, график которой изображён на рисунке.

1)  2)  3)  4)

Решение.

Задание третье. Функция задана графиком на промежутке . Укажите нули этой функции.

Решение.

Задание четвёртое. Найдите множество значений функции, используя её график:

a) , б) .

Решение.

Задание пятое. Найдите множество значений функции , используя её график.

Решение.

Задание шестое. Укажите промежуток, которому принадлежит только один нуль функции :

1)  2)  3)  4)

Решение.

Задание седьмое. Укажите промежуток, которому принадлежат все нули функции .

1)  2)  3)  4)

Решение.

2359

Комментарии 0

Чтобы добавить комментарий зарегистрируйтесь или на сайт