Видеоучебник / Математика / Подготовка к ЕГЭ по математике / Элементарные функции, их свойства и графики

Элементарные функции, их свойства и графики

Урок 20. Подготовка к ЕГЭ по математике

В этом видеоуроке мы вспомним основные элементарные функции и рассмотрим их графики. Повторим основные приёмы преобразования графиков.

Конспект урока "Элементарные функции, их свойства и графики"

Вспомним основные элементарные функции и рассмотрим их графики. Итак, линейная функция. Функция , где и – некоторые действительные числа, а – переменная, называется линейной.

Область определения линейной функции – , область значений при состоит из одного числа , при – .

При функция возрастает, при – убывает, при является постоянной.

Графиком линейной функции является прямая, для её построения достаточно двух точек.

По уравнениям линейных функций и можно судить о расположении их графиков.

Если , то прямые параллельны; если – перпендикулярны.

Угол между прямыми можно найти по формуле: .

Квадратичная функция. Функция , где , и – действительные числа и – переменная, называется квадратичной.

Областью определения квадратичной функции является множество действительных чисел.

Графиком квадратичной функции является парабола, ветви которой при направлены вверх, а при – вниз.

Вершина параболы в точке , где , .

Положение параболы относительно зависит от дискриминанта.

Степенные функции. Рассмотрим функции вида , , где . Область определения этих функций – .

Область значений функции – , область значений функции – .

Функция возрастает на всей области определения, а функция на промежутке убывает и на промежутке возрастает.

Функция является чётной, её график симметричен относительно оси ординат.

Функция является нечётной, её график симметричен относительно начала координат.

Рассмотрим функцию вида .

Области определения и значений – все действительные числа, кроме нуля.

Функция на каждом из двух промежутков области определения убывает при и возрастает при .

График функции называется гиперболой. Функция нечётная, график симметричен относительно начала координат.

И рассмотрим ещё функции вида , , где .

Область определения и область значений функции – , а функции – .

Обе функции возрастают на своей области определения.

Функция является нечётной, её график симметричен относительно начала координат.

И осталось ещё вспомнить основные приёмы преобразования графиков.

Итак, пусть дан график функции .

График функции , где , получается из графика функции сдвигом вдоль оси абсцисс на а единиц влево для и на единиц вправо для .

График функции , где , получается из графика функции сдвигом его вдоль оси ординат на единиц вверх для и на единиц вниз для .

График функции при получается из графика функции деформацией исходного графика вдоль оси ординат: растяжением в раз при или сжатием в раз при .

При происходит симметричное отражение графика относительно оси абсцисс, а при и происходит отражение сначала относительно оси абсцисс с последующим необходимым деформированием этого графика.

График функции при получается из графика функции деформацией исходного графика вдоль оси абсцисс: сжатием в раз при или растяжением в раз при .

При предварительно необходимо симметрично отобразить график относительно оси ординат, а затем осуществить необходимую деформацию этого графика.

График функции строится как комбинация первых двух пунктов, а именно: сначала деформируется в раз, а затем переносится на единиц в нужную сторону.

График функции получается из графика функции следующим образом: часть графика, лежащая над осью абсцисс, остаётся без изменения, а часть графика, находящаяся под осью абсцисс, отражается симметрично относительно оси абсцисс. Таким образом, ниже оси абсцисс графика нет.

График функции получается из графика функции и следующим образом: вместо левой (относительно оси ординат) части графика изображается отражённая (относительно оси ординат) правая. При этом правая часть графика остаётся без изменения.