Закон Паскаля. Закон Архимеда

На прошлом уроке мы с вами говорили о такой физической величине, как давление, которое вводится для того, чтобы охарактеризовать распределение сил давления вдоль поверхности соприкосновения тел:

Из формулы следует, что зная давление в данном месте, можно рассчитать силу давления, действующую на поверхность площадью S:

Давайте теперь с вами рассмотрим жидкость, которая находится в сосуде под поршнем, когда силы, действующие на свободную поверхность жидкости, значительно больше веса жидкости или жидкость находится в невесомости.

Выделим мысленно какой-то малый цилиндрический произвольно ориентированный объём жидкости. На основания этого объёма жидкости, как мы уже знаем, будут действовать силы давления остальной жидкости (обозначим их F₁ и F₂). А силы давления, действующие на боковые поверхности мы обозначим через F₃ и F₄.

Так как выделенный нами малый объём жидкости находится в равновесии, то равнодействующая всех сил, действующих на него, должна равняться нулю:

Выберем систему координат так, как показано на рисунке, и перепишем условие равновесия, например, в проекциях на ось Ох:

Теперь распишем наши силы давления через произведения давлений, оказываемых на основания выделенного нами цилиндра, и площади этих оснований:

А это значит, что давление во всех точках невесомой неподвижной жидкости одинаково.

Очевидно, что если мы изменим силу внешнего давления на некоторую величину, то на столько же изменится и давление в каждой точке жидкости. Однако равенство этих давлений сохраниться. Эта закономерность впервые была установлена французским учёным Блезом Паскалем в 1653 году.

Итак, закон Паскаля гласит: давление, производимое внешней силой на жидкость (газ), находящуюся в сосуде, передаётся жидкостью (газом) во все точки жидкости (газа) без изменения.

Закон Паскаля можно подтвердить экспериментально. Возьмём сосуд с водой и через пробку вставим в него четыре трубочки так, чтобы три из них были погружены в воду. Через первую трубочку начнём накачивать в сосуд воздух, увеличивая там его давление. Увеличение внешнего давления (давления воздуха) на поверхность воды передаётся водой от слоя к слою по всем направлениям.

В результате вода во всех трубках поднимается, причём на одну и ту же высоту. Значит, давление в воде сбоку (трубка два), снизу (трубка три) и сверху (трубка четыре) на одной глубине одинаково.

Отметим, что закон Паскаля не применим к твёрдым телам, поскольку в них подвижность частиц ограничена. То есть, если, например, вы поставите на стол тяжёлый предмет, то его вес создаст давление лишь на площадь поверхности стола под ним, то есть только в направлении действия силы.

Закон Паскаля позволяет объяснить действия большинства гидравлических машин. Это машины, действие которых основано на законах движения и равновесия жидкостей.

Простейшей и в то же время самой распространённой гидравлической машиной является гидравлический пресс, действие которого основано на законе Паскаля. Он состоит из двух цилиндров разных диаметров, снабжённых подвижными поршнями, и соединённых между собой трубкой. Пространство под поршнями и трубка заполняются практически несжимаемой жидкостью (обычно машинным маслом).

Если подействовать на малый поршень внешней силой, то она создаст давление на жидкость:

По закону Паскаля это давление передаётся жидкостью по всем направлениям без изменения. Значит и на большой поршень подействует такое же давление:

Тогда со стороны жидкости на большой поршень будет действовать сила, модуль которой будет прямо пропорционален площади большого поршня:

Теперь, если мы с вами сравним две силы, то окажется, что с помощью гидравлического пресса мы можем получить выигрыш в силе во столько раз, во сколько раз площадь большого поршня больше площади малого поршня:

Конечно же в реальных условиях записанное уравнение выполняется лишь приближённо, так как оно получено для невесомой и несжимаемой жидкости. А реальные жидкости всё-таки не подчиняются этим правилам.

Отметим также то, что, как и любой простой механизм, выигрыша в работе пресс не даёт.

Сосуды, из которых состоит гидравлический пресс, называются сообщающимися. Иными словами, сообщающиеся сосуды — это сосуды, соединённые ниже поверхности жидкости, так, что жидкость может свободно перетекать из одного сосуда в другой.

Из условия равновесия жидкости следует закон сообщающихся сосудов: в открытых неподвижных сообщающихся сосудах жидкость устанавливается так, что давление во всех точках, расположенных в одной горизонтальной плоскости, одинаково.

Из закона следует, что если в неподвижных сообщающихся сосудах находится однородная жидкость, то её свободная поверхность устанавливается на одном уровне:

Если же налиты две несмешивающиеся однородные жидкости, то высоты столбов жидкостей над уровнем раздела обратно пропорциональны плотностям этих жидкостей:

На прошлом уроке мы с вами говорили о том, что на поверхность тела, погружённого в жидкость (или газ), действуют силы давления. Так же мы выяснили, что давление жидкости на поверхность тела увеличивается с глубиной погружения. Значит можно предположить, что силы давления, которые действуют на нижнюю часть тела, всегда больше, чем на верхнюю. Тогда ожидаемо, что равнодействующая эти сил давления будет направлена вверх. Эту силу принято называть выталкивающей силой или силой Архимеда.

Опыт подтверждает наше предположение. Если подвешенный к крючку динамометра брусок опустить в воду, то показания динамометра уменьшатся. А разность показаний динамометра до и после погружения тела и будет равно значению выталкивающей силы.

Теперь вспомним, от чего зависит эта сила. Погрузим наш брусок в воду лишь на половину его объёма. Нетрудно заметить, что выталкивающая сила уменьшилась в два раза. Таким образом, выталкивающая сила тем больше, чем больше объём погружённой части тела.

Давайте вернём наш брусок в воду и продолжим экспериментировать. Возьмём обычную соль и добавим её в воду. Показания динамометра уменьшились. Продолжим повышать концентрацию соли, то есть увеличивать плотность раствора. Не трудно заметить, что при увеличении плотности жидкости выталкивающая сила возрастает.

Таким образом, выталкивающая сила тем больше, чем больше объём погружённой в неё части тела и чем больше плотность жидкости.

Аналогично жидкости на тело действует и газ, в который погружено тело.

Для расчёта силы Архимеда рассмотрим тело, имеющее форму прямоугольного параллелепипеда, погружённое в жидкость так, что его основания расположены горизонтально, и изобразим силы давления, действующие на это тело.

Равнодействующая этих сил давления — это выталкивающая сила:

Силы давления, действующие на боковые и на переднюю и заднюю грани тела, уравновешены. Они будут сжимать тело:

Модуль силы давления, действующей на верхнюю грань, найдём, как произведение суммы внешнего давления и гидростатического давления столба жидкости высотой h₁, на площадь верхней грани:

Аналогично будет определяться и сила давление жидкости на нижнюю грань тела:

где h₂ — это глубина, на которой находится нижняя грань.

Так как глубина, на которой находится нижнее основание параллелепипеда больше, чем глубина погружения его верхнего основания, то

Следовательно, их равнодействующая будет направлена вверх, приложена к центру масс вытесненной телом жидкости и по модулю равна разности этих сил:

Из рисунка видим, что разность между глубиной погружения нижнего и верхнего основания есть высота параллелепипеда:

А произведение высоты параллелепипеда и площади его основания — это есть его объём:

Вот мы с вами и получили выражение для определения выталкивающей силы. При этом необходимо помнить, что в записанной формуле V — это не объём всего тела, а лишь той его части, которая погружена в жидкость.

Обратим внимание ещё на одну вещь: так как произведение плотности жидкости и объёма погружённого тела равно массе жидкости, вытесненной телом при его погружении:

то на тело, погружённое в жидкость или газ, действует выталкивающая сила, равная весу жидкости или газа в объёме погружённой части тела, направленная вертикально вверх и приложенная в центре давления (то есть в точке приложения выталкивающей силы):

Это и есть закон Архимеда, экспериментально установленный Архимедом более двух тысяч лет назад.

Мы вывели формулу, рассматривая тело в форме параллелепипеда. Однако многочисленные опыты показали, что закон Архимеда применим к телам любой формы, погружённым в жидкость или газ полностью или частично. А вот в состоянии невесомости выталкивающей силы нет.

Теперь ответим ещё на один вопрос. Почему тела, погружённые в жидкость, например в воду, ведут себя по-разному: одни из них тонут, другие плавают, частично погрузившись в воду, а третьи, как рыбы, плавают в толще воды? В чём причина этого различия?

Всё зависит от соотношения плотности тела и плотности жидкости. Так, если плотность тела будет больше плотности жидкости, в которой оно находится, то тело утонет. Если плотность тела равна плотности жидкости, то тело плавает внутри жидкости. Ну а если плотность тела меньше плотности жидкости, то тело плавает, лишь частично погрузившись в жидкость.

Предлагаем вам самостоятельно сравнить силы тяжести и силы Архимеда для всех трёх случаев.