Решение линейных неравенств с модулем

Напомним, что модулем числа а называют расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки, изображающей это число на координатной прямой.

Обозначают: .

Посмотрим на координатную прямую, на которой отмечены точки  и .

Точка  расположена на расстоянии 7 единичных отрезков от начала координат. Значит, .

Точка  также расположена на расстоянии 7 единичных отрезков от начала координат. Значит, .

Получается, что числа  и  имеют одинаковые модули. А всё потому, что расстояние не может быть отрицательным, а значит, и модуль числа не может быть отрицательным.

Модуль числа 0 равен 0 (), так как точка с координатой 0 совпадает с началом отсчёта, то есть удалена от неё на 0 единичных отрезков.

Модуль неотрицательного числа равен самому числу. Модуль отрицательного числа равен противоположному числу.

Противоположные числа имеют равные модули, то есть .

Приступим к рассмотрению линейных неравенств с модулем.

Неравенства вида

Пример

Неравенство  не имеет решений, так как , то есть .

Неравенство  означает, что расстояние от  до  меньше , а значит, . Тогда решением данного неравенства является интервал .

Неравенства вида

Пример

Решениями неравенства  будут , то есть  – любое действительное число.

Решениями неравенства  будут , так как расстояние от  до 0 должно быть больше 5.

Неравенства вида

Если под знаком модуля стоит выражение с переменной, то сначала следует раскрыть модуль описанным выше способом, а затем выразить переменную.

Пример

Решение

Пример

Решение

При решении неравенств с модулем можно использовать метод равносильных переходов.

Например, в одном из рассмотренных выше примеров мы заменили неравенство с модулем равносильной ему системой линейных неравенств.

Сейчас давайте рассмотрим неравенства вида , где  и  – некоторые выражения с переменными.

Неравенство такого вида равносильно совокупности двух неравенств.

Получается, что рассмотренное в предыдущем примере неравенство можно заменить совокупностью неравенств.

Теперь рассмотрим неравенства вида , где  и  – некоторые выражения с переменными.

Неравенство такого вида равносильно системе двух неравенств.

Пример

Решение

Если неравенство содержит несколько модулей, то при его решении нужно придерживаться алгоритма.

1)    Найти значения переменной, при которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль.

2)    Разбить найденными значениями числовую прямую на непересекающиеся промежутки.

3)    Определить для каждого числового промежутка, чему равно значение каждого модуля (выражению, которое содержится под знаком модуля, или противоположному ему).

4)    Для каждого числового промежутка записать и решить исходное неравенство без знаков модуля.

5)    Найти пересечение полученных множеств решений и соответствующих числовых промежутков.

6)    В ответе записать объединение всех получившихся множеств решений.

Пример

Решение

До встречи на следующих занятиях!