Задачи о лжецах и правдолюбах

Здравствуйте, мальчики и девочки! Сегодня наше занятие будет посвящено решению задач о лжецах и правдолюбах. Давайте разберёмся, что это за задачи такие.

Представьте, что вы оказались в небольшом городке. В этом городке живут правдолюбы (люди, которые говорят только правду) и лжецы (люди, которые всегда лгут). Допустим, вы встретили там человека, но не знаете, правдолюб он или лжец.

Ребята, как думаете, какой вопрос вам нужно задать этому человеку, чтобы понять, кто перед вами – правдолюб или лжец?

Предлагаю выяснить это, рассмотрев задачу. Однажды Гриша оказался в каком-то одном из двух городов – М или Н. Ему известно, что все жители города М говорят правду, а все жители города Н всегда лгут. При этом все они часто ездят друг к другу в гости. Может ли Гриша, задав всего один вопрос первому встречному, узнать, в каком из городов он находится?

Давайте представим, что Гриша оказался в городе М, то есть в городе, в котором все жители говорят только правду. Здесь он должен задать такой вопрос, на который и местный житель, и приезжий из города Н лжец дали бы один и тот же ответ. Например, «да». Для местного жителя этот ответ будет правдой, а для приезжего лжеца – ложью. Другими словами, вопрос должен относится к таким обстоятельствам, которые верны только для местных жителей. Таких обстоятельств два: принадлежность к числу местных жителей и наличие честности. То есть можно спросить: «Вы местный?» или «Вы честный?». На любой из этих вопросов в городе М ответят «да».

Теперь давайте представим, что Гриша оказался в городе Н, то есть в городе, в котором все жители всегда лгут. Здесь на вопрос «Вы честный?», как и в городе М, любой ответит «да». Значит, этот вопрос не поможет Грише понять, в каком городе он оказался. А вот на вопрос «Вы местный?» в городе Н любой (и лжец, и правдолюб) ответит «нет».

Таким образом, можно сделать вывод: если Гриша первому встречному задаст вопрос «Вы местный?» и получит на него ответ «да», то он оказался в городе «М», то есть в городе правдолюбов. Если на этот вопрос Гриша получит ответ «нет», то он оказался в городе Н, то есть в городе лжецов.

Задача вторая. На острове живут правдолюбы и лжецы. Путешественник, встретивший островитянина, спросил его, кем он является. Что ответил путешественнику местный житель?

Решение. Если путешественник встретил правдолюба, то тот сказал, что он правдолюб, то есть сказал правду. Если путешественник встретил лжеца, то тот солгал и тоже сказал, что он правдолюб. Получается, что кого бы не встретил путешественник, в ответ он услышал: «Я правдолюб».

Задача третья. Искатель сокровищ Генри отправился на остров, на котором живут только правдолюбы и лжецы. Генри сопровождал проводник – житель острова, который сказал, что знает, как найти спрятанные сокровища. Вскоре они увидели ещё одного жителя острова. Генри отправил проводника узнать, кто этот житель острова – правдолюб или лжец. Проводник вернулся и сказал, что тот говорит, что лжец. Знает ли проводник, где спрятаны сокровища, или нет, то есть правду он сказал Генри, когда нанимался на работу, или солгал?

Ребята, давайте порассуждаем. Итак, если житель острова, которого встретили Генри и проводник, оказался правдолюбом, то он об этом сообщил проводнику. Если житель острова оказался лжецом, то всё равно сказал проводнику, что он правдолюб. Проводник же сказал Генри, что житель острова лжец. Тогда получается, что проводник соврал искателю сокровищ, а значит, он не знает, где спрятаны сокровища, то есть не сможет помочь Генри.

Решим такую задача. Встретились два жителя города правдолюбов и лжецов – Паша и Саша. Паша сказал Саше: «Ты – лжец». «По крайней мере один из нас – правдолюб», – ответил ему Саша. Кто из них кто?

Решение. Пусть Паша – правдолюб, а Саша – лжец. То есть Паша сказал правду, а Саша солгал.

Если Саша солгал, то среди них вообще нет правдолюбов. В таком случае наше предположение неверное. Тогда получается, что Паша – лжец, а Саша – правдолюб.

Следующая задача. Турист, прогуливаясь по городу правдолюбов и лжецов, встретил человека, который сказал про себя: «Я – лжец». Кем был человек, которого встретил турист?

Человек, который сказал, что он лжец, не мог быть правдолюбом, так как правдолюбы никогда не лгут. Также этот человек не мог быть лжецом, так как лжецы никогда не говорят правды. Возникает вопрос: «Кем же тогда был человек, которого встретил турист?». Ответ простой: этот человек не был жителем города правдолюбов и лжецов.

И решим ещё одну задачу. Путешественник встретил на острове правдолюбов и лжецов двух местных жителей и спросил у них: «Есть ли среди вас правдолюбы?». Первый островитянин ответил: «Среди нас нет правдолюбов». Второй островитянин промолчал. Кто есть кто?

Пусть первый островитянин – правдолюб, тогда его фраза «Среди нас нет правдолюбов» является правдой. Но она противоречит нашему предположению. Следовательно, первый островитянин – лжец. В таком случае среди них двоих всё-таки есть правдолюб, и им является второй островитянин.

Ответ: первый островитянин – лжец, второй островитянин – правдолюб.

Друзья, на этом время, отведённое на нашу встречу, заканчивается. Пора прощаться. До свидания. До новых встреч.