Условия равновесия тел. Центр тяжести тела

Мы уже долгое время изучаем взаимодействия тел, основным признаком которых является появление ускорений. Однако бывают случаи, когда нужно знать, при каких условиях тело, на которое действуют несколько сил, движется прямолинейно и равномерно или остаётся в покое. Конечно, в последнем случае можно выбрать инерциальную систему отсчёта, в которой тело покоится. Тогда говорят, что тело находится в равновесии.

Например, зеркало, висящее на стене, спокойно держится на месте — оно в равновесии, если смотреть из комнаты, которая для нас является инерциальной системой отсчёта. А вот человек в лифте, который тормозит, тоже вроде стоит на полу, но его равновесие мы описываем уже в неинерциальной системе отсчёта, связанной с лифтом.

Дальше мы будем обсуждать условия равновесия только для инерциальных систем, потому что именно они удобны для анализа. И это не просто теория: такие задачи имеют огромное значение в машиностроении, строительстве и вообще во многих областях техники.

Но прежде, чем перейти к условиям равновесия, вспомним понятие абсолютно твёрдого тела. Представьте, что у нас есть деревянный кубик. Мы кидаем его на стол, ставим на угол, давим на него грузом — а кубик всё равно остаётся таким же: его грани не сжимаются, углы не растягиваются, форма не меняется.

Вот именно так мы и договариваемся рассматривать абсолютно твёрдое тело: как будто оно всегда сохраняет свои размеры и форму, какие бы силы на него ни действовали. В дальнейшем, для краткости абсолютно твёрдое тело мы с вами будем называть твёрдым телом или просто телом.

Раздел механики, посвящённый изучению условий равновесия абсолютно твёрдых тел, носит название статика. В отличие от кинематики и динамики, здесь важно учитывать не только форму и размеры тела, но и то, в каких точках к нему приложены силы.

Когда мы разбирали законы Ньютона, то отмечали: если на тело действует сразу несколько сил, а оно при этом либо спокойно лежит, либо движется прямолинейно и без ускорения, значит, все эти силы уравновешивают друг друга. Иначе говоря, их векторная сумма равна нулю — именно так это формулируется во втором законе Ньютона:

Это следствие из второго закона Ньютона называют первым условием равновесия тела. Из него вытекает, что сумма проекций всех сил на любое направление также равна нулю. И хотя эти три уравнения на самом деле выражают одно и то же векторное равенство, именно в таком виде ими удобно пользоваться при решении задач — всё становится нагляднее и проще.

Первое условие равновесия — это важное требование, но оно само по себе ещё не гарантирует покой тела. Давайте проверим это на простом примере. Возьмём деревянный брусок и приложим к его концам две силы: одинаковые по величине, но направленные в разные стороны. Казалось бы, их геометрическая сумма равна нулю, значит всё в порядке? Но нет, на деле брусок начнёт вращаться!

То же самое происходит с рулём велосипеда или автомобиля: две равные и противоположные силы не удерживают его в покое, а заставляют поворачиваться.

Итак, сила может не только толкать или тянуть тело, но и заставлять его вращаться. При этом важно не только то, насколько она велика, но и где именно она приложена. Для примера воспользуемся гаечным ключом чтобы открутить гайку. Если тянуть за ключ рядом с гайкой, то для её откручивания нам придётся приложить большое усилие. А вот если взять ключ за самый конец (далеко от оси вращения), то гайка откручивается гораздо легче.

Аналогичный пример можно привести и с дверями. Если попробовать открыть дверь, надавив рукой совсем рядом с петлями, придётся приложить большое усилие. А вот если толкнуть её за ручку, которая находится далеко от оси вращения, дверь откроется легко.

Вращающее действие силы зависит не только от её модуля, но и от расстояния между линией действия силы и осью вращения. Надавив на комнатную дверь рукой недалеко от оси вращения, мы сможем открыть её, только если приложим значительное усилие. Наоборот, дверь открывается легко, если действовать на неё на большом расстоянии от оси.

Таким образом, чтобы понять вращающее действие силы, нужно знать не только её величину, но и то, на каком расстоянии от оси вращения она приложена. Это расстояние — перпендикуляр от оси вращения до линии действия силы — называют плечом силы.

Так для тела, представленного на рисунке, l₁ и l₂ — это плечи сил F₁ и F₂ соответственно.

Вращающее действие силы характеризуют моментом силы М относительно оси — величиной, равной произведению модуля силы на её плечо:

М = ±Fl.

По этой формуле мы получаем абсолютное значение момента. Но важно ещё учитывать направление вращения. Так, если сила стремится повернуть тело против хода часовой стрелки, момент считается положительным, а если по ходу часовой стрелки — отрицательным. Хотя никто не запрещает вам поменять эти направления в рамках конкретной задачи.

Например, сила F₁ поворачивает тело против часовой стрелки, значит её момент положителен. А сила F₂, вращающая тело в направлении хода часовой стрелки, даёт отрицательный момент.

Чтобы разобраться в условиях равновесия твёрдого тела с закреплённой осью вращения, возьмём однородный диск, который может свободно вращаться вокруг оси, проходящей через его центр. Чтобы было удобнее измерять плечи сил, на диске нарисованы концентрические окружности — каждая на расстоянии 1 см друг от друга. По диаметрам этих окружностей вбиты маленькие гвоздики, на которые можно подвешивать грузы. Каждый груз весит ровно 1 Н.

Подвесим к установке грузы так, как это показано на экране.

Итак, мы видим, что теперь на диск действуют 4 разные силы, приложенные в разных точках:

F₁ = 1 Н, l₁ = 4 см;

F₂ = 3 Н, l₂ = 2 см;

F₃ = 2 Н, l₃ = 5 см;

и F₄ = 4 Н, l₄ = 0 см.

Итак, под действием оставшихся сил диск находится в равновесии. Найдём моменты этих сил, с учётом знаков:

М₁ = –1 Н ∙ 0,04 м = –0,04 Н ∙ м;

М₂ = –3 Н ∙ 0,02 м = –0,06 Н ∙ м;

М₃ = 2 Н ∙ 0,05 м = 0,1 Н ∙ м.

А теперь найдём сумму моментов наших сил:

М₁ + М₂ + М₃ = –0,04 Н ∙ м – 0,06 Н ∙ м + 0,1 Н ∙ м = 0.

Таким образом, мы приходим с вами к важному выводу: для того, чтобы твёрдое тело с закреплённой осью вращения оставалось в равновесии, необходимо, чтобы алгебраическая сумма всех моментов сил относительно этой оси была равна нулю:

Это условие называют вторым условием равновесия твёрдого тела.

Следовательно, в общем случае твёрдое тело будет находится в равновесии только тогда, когда выполняются сразу два требования:

геометрическая сумма всех приложенных к телу сил равна нулю;

и алгебраическая сумма моментов этих сил относительно любой оси тоже равна нулю.

Обратим внимание на два важных момента. Во‑первых, на диск действует ещё одна сила со стороны оси вращения, ведь именно она удерживает тело на месте. Но её момент относительно оси равен нулю, потому что плечо этой силы равно нулю. Поэтому в расчётах её часто не учитывают.

Во‑вторых, на диск действует сила тяжести. Возникает вопрос: почему же мы её тоже не включили в расчёты? Поговорим об этом подробнее.

Когда мы говорим о силах, действующих на тело со стороны тросов, пружин или опор, то легко указать точку их приложения — видно, где именно они действуют. А вот с силой тяжести ситуация особенная: она действует на каждый кусочек тела, как будто распределена по всему объёму.

Чтобы разобраться, представим, что мы мысленно разделили тело на множество маленьких частей. На каждую часть действует своя сила тяжести, направленная вниз. Все эти силы можно заменить одной — равнодействующей силой тяжести. Но чтобы результат её действия был таким же, как у всех отдельных сил, её нужно приложить к особой точке. Эту точку называют центром тяжести тела и обозначают буквой С.

При любых перемещениях или поворотах тела его центр тяжести остаётся на том же месте относительно самого тела. Он «путешествует» вместе с телом, не меняя своего положения внутри него.

Где именно находится центр тяжести — зависит от того, как распределена масса по объёму. Поэтому если части тела остаются на своих местах, центр тяжести не смещается. А вот если изменить взаимное расположение частей — например, согнуть линейку, переставить грузы или сложить фигуру иначе — тогда центр тяжести действительно может переместиться.

Например, если человек стоит прямо и затем поднимает руки вверх, его центр тяжести смещается. В положении «руки вниз» центр тяжести находится чуть ниже уровня груди. Когда руки подняты, часть массы тела перемещается выше, и центр тяжести поднимается вместе с ними. Это хорошо видно, например, у гимнастов или акробатов: изменяя положение рук и ног, они меняют расположение центра тяжести, чтобы удерживать равновесие или выполнять сложные движения.

Центр тяжести тела можно найти с помощью простого опыта. Возьмём картонную фигуру и подвесим её на нити в одной из точек, размещённых по краю. Туда же подвесим отвес. Когда фигура успокоится, сила тяжести и сила упругости будут направлены вдоль одной вертикальной линии — её и показывает отвес. Проведём эту линию на фигуре.

Теперь подвесим фигуру за другую точку и снова отметим линию по отвесу. Если повторить опыт несколько раз, то все линии пересекутся в одной точке. Эта точка и есть центр тяжести фигуры. Чтобы убедиться в этом, можно поставить фигуру на остриё карандаша именно в этой точке: она будет находиться в равновесии и не падать.

В однородных телах правильной формы центр тяжести совпадает с центром симметрии. Именно поэтому в опыте с диском момент силы тяжести относительно оси вращения равен нулю — ведь ось проходит через центр тяжести диска.

Но бывает и иначе: центр тяжести может находиться вне самого тела. Пример — кольцо. Его центр тяжести находится в точке пересечения диаметров, то есть в геометрическом центре окружности, хотя там и нет вещества.

В заключение хотелось бы отметить, что рассмотренные нами условия равновесия работают только для абсолютно твёрдых тел. Для иллюстрации рассмотрим резиновый шнур. Если к его концам приложить две равные по величине силы, направленные вдоль шнура в противоположные стороны, их геометрическая сумма будет равна нулю. Сумма моментов этих сил относительно любой оси также окажется равной нулю. Но равновесия нет — шнур удлиняется.

Помните, что принципы равновесия лежат в основе работы многих механизмов, от простых рычагов до сложных конструкций. Умение применять их — это не только решение задач, но и понимание устойчивости мира вокруг нас. Будьте внимательны к балансу сил в своей жизни — и в физике, и в делах.