На предыдущем уроке мы с вами познакомились с теоремой Пифагора, которая звучит следующим образом: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
На этом уроке мы сформулируем и докажем теорему, обратную теореме Пифагора.
Теорема. Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то этот треугольник – прямоугольный.
Доказательство.
Пусть ABC – треугольник, для которого справедливо равенство: . ,
Докажем, что – прямой.
– прямоугольный.
– прямой, ,.
,
.
Следовательно, ,то есть,.
по третьему признаку.
Тогда .
Значит, – прямоугольный.
Что и требовалось доказать.
Прямоугольные треугольники, у которых длины сторон выражаются целыми числами, называются пифагоровыми треугольниками. Так каждый из приведённых треугольников является пифагоровым.
В Древнем Египте для построения прямого угла строили прямоугольный треугольник при помощи кольев и натянутых на них верёвок длиной три, четыре и пять единиц.
Тогда угол между сторонами, равными трём и четырём, получался прямым.
Задача. Выясните, является ли треугольник прямоугольным, если его стороны выражаются числами: а) , , ; б) , , ; в) , , .
Решение.
Задача. Найдите площадь треугольника, если его стороны равны см, см и см.
Решение.
, тогда – прямоугольный, .
,
(см2).
Ответ: см2.
Задача. В равнобедренном треугольнике длина боковой стороны равна см, а основание – см. Найдите .
Решение.
см.
,следовательно, – прямоугольный, .
Так как – равнобедренный, то .
,тогда .
Ответ: .
Итак, на этом уроке мы вспомнили теорему Пифагора и познакомились с обратной ей: если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то этот треугольник – прямоугольный.
Отметили, что прямоугольные треугольники, у которых длины сторон выражаются целыми числами, называются пифагоровыми треугольниками.
А также мы поговорили о египетском треугольнике, который представляет собой треугольник со сторонами три, четыре, пять. При этом если пропорционально увеличивать стороны такого треугольника, то полученные треугольники, например, со сторонами шесть, восемь, десять; девять, двенадцать, пятнадцать и так далее также будут прямоугольными.