Теорема Пифагора

Довольно часто в практической деятельности человека, например, в строительстве или при изготовлении мебели, возникает необходимость вычисления длин сторон прямоугольного треугольника.

На этом уроке мы сформулируем и докажем теорему, которая устанавливает соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.

Теорему связывают с именем древнегреческого учёного Пифагора, который жил примерно в 6 веке до нашей эры, и называют теоремой Пифагора. По мнению историков, теорема была известна задолго до Пифагора, но именно он нашёл её доказательство.

Теорема. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательство. Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами а и b и гипотенузой c. Докажем, что .

Достроим этот треугольник до квадрата со стороной a+b вот таким образом:

Площадь получившегося квадрата будет равна  .

Этот квадрат состоит из четырёх равных прямоугольных треугольников, катеты которых равны a и b, а тогда площадь каждого из них будет равна половине произведения длин их катетов, то есть , .

.

,

,

,

.

Что и требовалось доказать.

Мы с вами познакомились только с одним из доказательств теоремы, а их существует огромное количество.

Давайте решим несколько задач на применение теоремы Пифагора.

Задача. Длина одного из катетов прямоугольного треугольника равна  см, длина второго – на см больше. Найдите длину гипотенузы треугольника.

Решение.

 см,  (см).

,

,

,

 см.

Ответ:  см.

Задача. Найдите высоту равностороннего треугольника , если его сторона равна  см.

Решение.

Проведём в треугольнике высоту BE  и рассмотрим прямоугольный треугольник ABE.

 см,

,

 (см).

,

,

,

,

 (см).

Ответ:  см.

Задача. Найдите площадь прямоугольного треугольника , если , а катет  см.

Решение.

,

.

.

,

,

,

,

,

,

 (см).

,

 (см²).

Ответ:  см².

Задача. Найдите длину большей боковой стороны прямоугольной трапеции, если её площадь равна  см², длина большего основания  равна см, а высота –  см.

Решение. Возьмём прямоугольную трапецию ABCD.

 см²,

 см,

 см.

,

,

,

 (см).

 – прямоугольник,

значит,  см.

,

 см.

,

,

 (см).

Ответ:  см.

Итак, на этом уроке мы доказали важнейшую теорему геометрии – теорему Пифагора, в которой говорится, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.