Игры вслепую

Сразу следует сказать, что «Игры вслепую» – это не игры слепых.

Такое название подразумевает, что есть, например, коробка, ящик или тёмная комната, где лежат какие-то предметы. А нам нужно, не включая свет в комнате и не заглядывая в коробку или ящик, вынуть определённые предметы. Как нам это сделать?

Можно, например, вытряхнуть всё из коробки, выложить из ящика, а комнату осветить свечой. А если и этого делать нельзя? А если нам предлагают взять эти предметы за наименьшее количество попыток?

Давайте рассмотрим такую задачу. В непрозрачном мешке лежат 5 синих и 2 чёрных шара. Какое наименьшее количество шаров надо вытащить из мешка, чтобы среди них обязательно оказался хотя бы 1 синий шар?

Решение. При решении подобных задач надо рассмотреть самый неудобный, самый худший случай.

Какой случай здесь самый худший? Очевидно, что это будет тот случай, когда мы всё время будем вытаскивать только чёрные шары. Известно, что в мешке 2 чёрных шара.

То есть вытащив 2 шара, мы не вытащим ни одного синего шара. Но вот если мы вытащим 3 шара, то тогда уж точно из 3 шаров по крайней мере 1 шар будем синим, так как чёрных шаров в мешке уже не осталось. Конечно, среди этих трёх шаров могут быть и 2, или даже все 3 синих шара, но условию задания это противоречить не будет.

Ответ: 3 шара.

А какое наименьшее количество шаров надо вытащить из мешка, чтобы среди них обязательно оказался хотя бы один чёрный шар?

Итак, в мешке лежат 5 синих и 2 чёрных шара. В худшем случае мы будем постоянно вытаскивать синие шары. Получается, что мы достанем 5 шаров и все они будут синими. А вот шестой шар точно будет чёрным, так как синих шаров в мешке больше не осталось.

Ответ: 6 шаров.

Решим следующую задачу. В непрозрачном мешке лежат 5 синих и 2 чёрных шара. Сколько шаров надо вытащить, чтобы среди них обязательно оказался хотя бы 1 синий и хотя бы 1 чёрный?

Решение. Выясним, какой случай будет самым худшим.

Итак, худшим здесь будет случай, когда мы сначала будем вытаскивать одни синие шары и только потом нам попадётся один чёрный шар. Получается, что надо будет достать 6 шаров. Ведь мы достанем сначала 5 синих шаров, а потом – 1 чёрный.

А если нам сначала будут попадаться только чёрные шары?

Так как чёрных шаров в мешке только 2, то даже в худшем случае уже третий шар, который мы достанем, будет синим.

Получается, что случай, когда сначала попадаются одни чёрные шары, лучше. Выбор худшего случая зависит от того, каких шаров больше – синих или чёрных. А так как нельзя полагаться только на удачу – лучший случай, выбираем ответ именно худшего варианта.

Ответ: 6 шаров.

Теперь давайте выясним, какое наименьшее количество шаров надо вытащить, чтобы среди них наверняка оказались 2 синих и 1 чёрный шар?

Решение. Предположим, что мы сначала вытащим все синие шары. Их 5. И только потом достанем чёрный шар. То есть придётся вытащить 6 шаров. Так будет в худшем случае.

А вот если сначала будут попадаться шары только чёрного цвета, которых в мешке всего 2, то уже третий и четвёртый будут синего цвета. И этот случай будет не самым худшим, так как достаточно вытащить всего 4 шара.

Ответ: 6 шаров.

А сейчас к этой же задаче поставим ещё один вопрос: сколько шаров надо вытащить, чтобы среди них оказались 2 шара одного цвета?

Решение. Худший случай – когда сначала мы вытащим шары разных цветов. Это возможно, если мы достанем 2 шара: 1 синий и 1 чёрный. Тогда, достав третий шар, не важно какого цвета (синего или чёрного), уже будем иметь 2 шара одного цвета.

Так, если мы достанем синий шар, то будет 2 шара синего цвета. А если достанем чёрный шар, то будет 2 шара чёрного цвета.

Ответ: 3 шара.

Далее решим такую задачу. В ящике комода, который стоит в тёмной комнате, лежат 9 зелёных и 9 красных носков одного размера. Сколько носков нужно достать из ящика комода, чтобы среди них оказалась пара носков одного цвета?

Решение. Какой случай здесь самый худший? Очевидно, тот, в котором мы достанем 2 носка, и они будут разных цветов, то есть один зелёный и один красный.

Тогда если мы вытащим третий носок, то у нас уже будет 2 носка одного цвета.

Если третий носок будет зелёным, то у нас будет пара зелёных носков. Если третий носок будет красным, то у нас будет пара красных носков.

Ответ: 3 носка.

Теперь решим следующую задачу. В тёмной кладовой лежат ботинки одного размера: 12 пар синих и 12 пар зелёных. Какое наименьшее количество ботинок надо взять, чтобы среди них оказалась хотя бы одна пара одного цвета, если в темноте нельзя отличить не только цвет, но и левый от правого?

Решение. Давайте, как и во всех предыдущих задачах, рассмотрим самый неблагоприятный случай.

Если взять из тёмной кладовки 24 ботинка, то все они могут оказаться на одну ногу. То есть это могут быть 12 синих ботинок на левую ногу и 12 зелёных ботинок на эту же ногу. Но это могут быть ботинки и на правую ногу.

Затем, взяв ещё один ботинок (двадцать пятый), он обязательно окажется парным одному из тех, которые были взяты ранее.

Также возможен случай, когда сначала будут взяты по 12 ботинок на разные ноги, то есть 12 ботинок на левую ногу и 12 ботинок на правую ногу, но они будут разных цветов. Но и в этом случае двадцать пятый ботинок окажется парным одному из тех 24, которые уже взяты.

Ответ: 25 ботинок.

И давайте решим ещё одну задачу. В непрозрачном мешке 70 шаров: 20 красных, 20 зелёных, 20 жёлтых, остальные синие и чёрные. Шары отличаются друг от друга только цветом. Не заглядывая в мешок выбираем шары. Какое наименьшее количество шаров необходимо взять, чтобы среди них было не менее 10 шаров одного цвета?

Решение. Итак, будем выбирать шары наугад, не заглядывая в мешок.

В самом худшем случае мы сначала достанем 9 красных шаров. То есть не будет хватать всего одного красного шара, чтобы было 10 шаров одного цвета.

Потом ещё достанем 9 зелёных шаров, 9 жёлтых, 10 синих и чёрных.

9 + 9 + 9 + 10 = 37 (ш.)

Получается, что можно взять из мешка 37 шаров, но при этом у нас не будет 10 шаров одного цвета.

Если теперь мы достанем ещё один шар (тридцать восьмой), а это будет шар красного, зелёного или жёлтого цвета, то у нас получится 10 шаров одного цвета.

Если мы достанем красный шар, то получится 10 шаров красного цвета; если достанем зелёный шар, то – 10 шаров зелёного цвета; если достанем жёлтый шар, то – 10 шаров жёлтого цвета.

Таким образом, в худшем случае придётся достать из мешка 38 шаров, чтобы было 10 шаров одного цвета.

Ответ: 38 шаров.