Решение неравенств второй степени с одной переменной

Неравенства вида:

где х - переменная,

a, b, c - некоторые числа.

В левой части неравенства записан квадратный трёхчлен. Решение неравенства сводится к нахождению множества значений переменной х, при которых квадратный трёхчлен принимает положительные или отрицательные значения.

Алгоритм решения неравенств второй степени:

1.     Определить направление ветвей параболы .

2.     Найти корни квадратного уравнения .

3.     Изобразить схематический график.

4.     Выбрать множество значений х, соответствующих знаку неравенства.

5.     Записать ответ.

Решим несколько неравенств второй степени, придерживаясь данного алгоритма.

Первое неравенство:

Рассмотрим квадратичную функцию:

Так как а=1, значит ветви параболы направлены вверх.

Отметим эти значения на оси:

Решением данного неравенства будет объединение промежутков:

Второе неравенство:

Рассмотрим квадратичную функцию:

Так как а=3, значит ветви параболы направлены вверх.

Решим соответствующее квадратное уравнение:

Отметим эти значения:

Решением данного неравенства будет:

Третье неравенство:

Рассмотрим квадратичную функцию:

Так как а=-7, значит ветви параболы направлены вниз.

Решим соответствующее квадратное уравнение:

Данное неравенство не имеет решений.

Пример.

Определить, при каком значении переменной b уравнение имеет корни:

Найдем дискриминант этого уравнения:

Тогда выполнение задания сводиться к решению неравенства второй степени. Причём с нестрогим знаком, больше либо равно.

Применив алгоритм, найдем корни уравнения:

Изобразим их на числовой прямой:

Уравнение имеет корни:

Пример.

Решить систему неравенств:

Решим каждое неравенство в отдельности.

В первом случае:

Во втором случае:

Мы получили решение двух неравенств второй степени. Вернёмся к системе. Решением системы будет пересечение двух решений. Значит, решением системы будет объединение промежутков: