Вычисление длины, площади и объёма

Напомним, что измерить отрезок означает подсчитать, сколько единичных отрезков в нём укладывается. Измерить площадь фигуры означает подсчитать, сколько единичных квадратов в ней укладывается. Измерить объём фигуры означает подсчитать, сколько единичных кубов в ней укладывается.

Теперь сформулируем некоторые свойства произвольных фигур.

Итак, каждая плоская фигура или пространственное тело имеют форму и размеры.

Равные фигуры – это фигуры, равные по размерам и имеющие одинаковую форму.

Так, например, следующие прямоугольник и квадрат имеют равные площади (в каждом из них укладывается одинаковое число единичных квадратов), но при этом они не равны, так как имеют разные формы.

Или, например, два круга имеют одну и ту же форму, но очевидно, что их размеры не совпадают. Значит, эти два круга не равны между собой.

А вот два отрезка одинаковой длины являются равными фигурами.

Две фигуры называют равными, если они совпадают при наложении. Посмотрите, на листе бумаги изображены фигуры. Если их вырезать и совместить, то мы увидим, что они совпадают при наложении. А значит, эти фигуры равны.

Если две различные плоские фигуры можно разрезать на одинаковые части, то эти фигуры будут иметь равные площади. Такие фигуры называют равносоставленными.

Давайте возьмём прямоугольник и разрежем его на два треугольника. Сложим из полученных фигур новую фигуру – треугольник. Полученный треугольник и прямоугольник – равносоставленные фигуры, так как состоят из одного и того же набора плоских фигур.

Прямоугольник и треугольник, составленные из частей прямоугольника, имеют одинаковую площадь.

Фигуры, имеющие равные площади, называют равновеликими.

Плоские равновеликие многоугольники также являются равносоставленными.

Таким образом, можно сказать, что многоугольник всегда можно перекроить в любой другой многоугольник с такой же площадью.

Давайте следующий четырёхугольник разделим на три части. Получили два треугольника и квадрат.

Теперь переложим один треугольник вот таким образом…

В результате получим прямоугольник, площадь которого равна площади исходного четырёхугольника.

Объёмные тела, составленные из одинаковых частей, имеют одинаковый объём.

В отличие от многоугольников, два многогранника, имеющие одинаковый объём, не всегда можно разделить на одинаковые части.

Теперь возьмём прямоугольник со сторонами длиной 2 см и 3 см.

Этот прямоугольник состоит из 6 квадратов. Площадь каждого квадрата равна 1 см². Тогда площадь всего прямоугольника равна 6 см².

Давайте увеличим каждую сторону данного прямоугольника в 2 раза. Тогда получим прямоугольник со сторонами 4 см и 6 см. Несложно посчитать, что полученный прямоугольник состоит из 24 квадратов, а значит, его площадь равна 24 см².

. Получается, что площадь прямоугольника увеличилась в 4 раза.

При увеличении длины каждой стороны прямоугольника в 2 раза площадь увеличилась в , то есть в 4 раза.

Таким образом, если, не меняя формы плоской фигуры, увеличить её размеры в  раз, то её площадь увеличится в  раз.

Возьмём куб с длиной ребра 2 см. Найдём объём этого куба. Для этого посчитаем, сколько кубиков с ребром 1 см в нём поместится. Итак, на дно куба помещается 2 ряда из 2 единичных кубиков. Тогда на дне куба помещается слой из , то есть из 4 кубиков. Чтобы заполнить весь куб, в него надо вложить ещё 1 слой из 4 кубиков. Получается, что весь куб можно заполнить , то есть 8 кубиками. Поэтому объём нашего куба равен 8 см³.

А теперь давайте увеличим ребро куба, например, в 2 раза. Тогда получим куб с длиной ребра 4 см. Найдём объём этого куба. На дно куба помещается 4 ряда из 4 единичных кубиков. Тогда на дне куба помещается слой из , то есть из 16 кубиков. Чтобы заполнить весь куб, в него надо вложить ещё 3 слоя из 16 кубиков. Получается, что весь куб можно заполнить , то есть 64 кубиками. Поэтому объём этого куба равен  см³.

. Получается, что объём куба увеличился в 8 раз.

При увеличении длины ребра куба в 2 раза объём куба увеличился в , то есть в 8 раз.

Таким образом, если, не меняя формы тела, увеличить его размеры в  раз, то его объём увеличится в  раз.

Отметим, что площадь фигуры и объём тела не всегда удобно находить так, как мы это делали выше. Так, например, вычислить площадь участка или объём комнаты было бы удобнее с помощью некоторых формул. Ещё в начальной школе мы узнали, что площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины.

Если  и  – длины соседних сторон прямоугольника (в каких-то единицах), то его площадь равна  квадратных единиц.

В буквенном виде формулу для вычисления площади прямоугольника записывают так:

 – площадь, ,  – длины соседних сторон прямоугольника. При вычислениях важно помнить, что длина и ширина прямоугольника должны быть выражены в одних и тех же единицах измерения.

Так, площадь прямоугольника со сторонами 2 см и 3 см равна  (см²).

А сейчас посмотрите на следующий рисунок.

На нём изображён квадрат со стороной 4 см. Давайте вычислим его площадь. Так как квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны, то воспользуемся формулой площади прямоугольника.  (см²).

Так как у квадрата все стороны равны, то его площадь находят по формуле:

Теперь познакомимся с формулой для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда.

Если ,  и  – длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда, то его объём равен  кубических единиц.

В буквенном виде формулу для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда записывают так:

 – объём, , ,  – измерения прямоугольного параллелепипеда. Отметим, что при вычислениях важно помнить, что длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда должны быть выражены в одинаковых единицах измерения.

Куб – это прямоугольный параллелепипед, у которого все рёбра равны между собой, то его объём вычисляют по формуле:

Например, объём куба с длиной ребра 2 см равен  (см³).

А теперь давайте с вами решим несколько задач.

Задание первое. Выясните, являются ли квадрат со стороной 6 см и прямоугольник со сторонами 9 см и 4 см равновеликими фигурами?

Решение.

Задание второе. Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке.

Решение.

Запомните! Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, из которых она состоит.

Задание третье. Найдите объём комнаты, если её длина равна 7 м, ширина равна 4 м, а высота стен равна 3 м.

Решение.