Многочлен

Вопросы занятия:

·  вспомнить, что называют многочленом;

·  вспомнить, как многочлены приводить к стандартному виду;

·  поговорить о том, как назвать степень многочлена;

· вспомнить, какие действия можно выполнять над многочленами;

· вспомнить, какие существуют способы разложения многочлена на множители.

Материал урока

А теперь давайте рассмотрим выражение на экране:

Нетрудно заметить, что оно является суммой одночленов: , , .

Такое выражение называют многочленом. А одночлены, входящие в него: , ,  — членами многочлена.

Понятно, что многочлен это есть сумма одночленов.

Любой одночлен также является многочленом. А число 0 (нуль) называется нулевым многочленом.

Теперь давайте рассмотрим следующий многочлен: . Здесь члены  и ,  и  являются подобными слагаемыми, так как они имеют одинаковые буквенные части. Члены  и , не имеющие буквенной части, также являются подобными.

Кстати, подобные слагаемые в многочлене называют подобными членами многочлена. А приведение подобных слагаемых в многочлене – приведением подобных членов многочлена.

Итак, упростим этот многочлен, т.е. приведём подобные слагаемые. Тогда имеем,

Получили многочлен, у которого нет подобных слагаемых, и каждый его член записан в стандартном виде. Такой многочлен называется многочленом стандартного вида.

Определение.

Многочленом стандартного вида называется многочлен, все члены которого имеют стандартный вид и среди них нет подобных.

Любой многочлен можно привести к стандартному виду.

Также отметим, что если многочлен стандартного вида состоит из двух слагаемых, то его называют двучленом. Если же многочлен состоит из трёх членов, то – трёхчленом. И так далее …

Вернёмся к многочлену .

Составляющие его одночлены имеют вторую степень, первую и нулевую. Наибольшая из степеней равна 2, поэтому говорят, что этот многочлен является многочленом второй степени.

Определение.

Степенью многочлена называется наибольшая из степеней одночленов, из которых он составлен, когда записан в стандартном виде.

А вот степень нулевого многочлена не определена.

Задание.

Записать многочлены в стандартном виде и назвать их степени:

а) ;     

б) ;

в)  .

Решение. Первый многочлен . Здесь подобными являются слагаемые  и ,  и . Приведём подобные слагаемые и получим:

Степень первого слагаемого равна 3, а второго 2. А, значит, степень данного многочлена равна 3, так как она наибольшая из всех степеней одночленов.

Следующий многочлен: .

Здесь первое и третье слагаемые имеют одинаковую буквенную часть, а значит, они подобны. Приведём подобные слагаемые и получим:

Степень первого слагаемого равна 4, а второго 5. А значит, степень рассматриваемого многочлена равна 5.

И последний многочлен  .

Заметим, что здесь первое, третье и пятое слагаемые являются подобными. Второе, четвёртое и шестое слагаемые также подобны. Приведём подобные слагаемые и получим:

Степень первого одночлена равна 4. Степень второго одночлена также равна 4. А значит, и степень многочлена равна 4.

Над многочленами, как и над одночленами можно выполнять действия. Давайте вспомним какие действия можно выполнять над многочленами.

Итак, многочлены можно складывать. Сложить два многочлена – это значит представить их сумму в стандартном виде.

Многочлены можно вычитать. Вычесть из одного многочлена другой – это значит представить их разность в стандартном виде.

Многочлен можно умножить на одночлен. Для этого нужно умножить каждый член многочлена на одночлен и полученные произведения сложить.

Многочлен можно умножить на многочлен. Для этого необходимо умножить каждый член одного многочлена на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

Многочлен можно разделить на одночлен. Для этого нужно разделить каждый член многочлена на одночлен и результаты сложить.

Говорят, что многочлен делится на одночлен нацело, если в результате деления получается также многочлен.

Также многочлен можно разделить и на многочлен. Деление многочленов выполнимо «уголком», если степень многочлена-делимого не меньше степени многочлена делителя.

Перейдём к рассмотрению заданий.

Задание.

Выполнить сложение и вычитание многочленов:

а) найти сумму:  и ;

б) найти разность:  и .

Решение. Итак, первый пример. Нужно найти сумму многочленов  и . Составим их сумму.

Раскроем скобки. Обратите внимание, так как перед скобками стоит знак «плюс», то опустив их, мы сохраняем знак каждого слагаемого. Здесь подобными являются слагаемые  и ,  и ,  и . Приведём подобные слагаемые и получим:

Таким образом, в результате сложения двух многочленов мы получили многочлен, причём стандартного вида.  

Второй пример. Нужно найти разность многочленов:   и . Составим их разность.

И раскроем скобки. Обратите внимание, так как перед вторыми скобками стоит знак минус, то опустив их, мы изменили знак каждого слагаемого на противоположный. Здесь подобными слагаемыми являются  и ,  и ,  и . Приведём подобные слагаемые и получим:

Как и при сложении, мы получили многочлен стандартного вида.

Задание.

Выполнить умножение одночлена на многочлен и умножение многочлена на многочлен:

а)  и ;

б)  и .

Решение. Первый пример. Составим произведение одночлена и многочлена.

Раскроем скобки, воспользовавшись распределительным свойством умножения. Теперь, выполнив умножение одночлена на каждый член многочлена и сложив результаты, имеем:

Таким образом, в результате умножения одночлена на многочлен мы получили многочлен стандартного вида.

Второй пример. Составим произведение указанных многочленов.

Раскроем скобки. Каждый член первого многочлена умножим на каждый член второго многочлена. Чтобы убедиться, что мы сделали все правильно и не забыли про произведение каких-нибудь членов, посчитаем количество членов в полученной сумме. Там их двенадцать. Так и должно быть, так как при умножении многочлена на многочлен до приведения подобных слагаемых у нас всегда должно получаться количество слагаемых, равное произведению числа слагаемых первого и второго многочленов. А исходные многочлены состоят из четырёх и трёх членов соответственно. Теперь приведём подобные. Получим,

Обратите внимание, мы получили многочлен стандартного вида.

Задание.

Выполнить деление многочлена на одночлен и деление многочленов:

а)  и ;

б)  и .

Решение. Итак, первый пример. Разделим многочлен   на одночлен . Для этого каждый член многочлена разделим на данный одночлен. Сложив результаты, получим,

Второй пример. Найдём частное многочленов. Алгоритм деления многочлена на многочлен очень похож на деление чисел.

Обратите внимание наш многочлен  делится на многочлен  без остатка, или нацело.

Теперь давайте поговорим о разложении многочлена на множители.

Разложить многочлен на множители – значит представить его в виде произведения одночленов и многочленов.

Напомним, что существует несколько способов разложения многочлена на множители. Вспомним их.

Итак, первый способ: вынесение общего множителя за скобки, если он есть.

Это преобразование является непосредственным способом распределительного закона.

Пример. Давайте разложим на множители многочлен: .

Обратите внимание, что каждый его член можно представить в виде произведения двух множителей, один из которых равен . Воспользовавшись распределительным законом умножения, мы можем представить полученное выражение в виде произведения двух множителей:

Таким образом, мы представили многочлен в виде произведения двух множителей, то есть разложили его на множители.

Второй способ: способ группировки. Этот способ заключается в том, что слагаемые многочлена можно сгруппировать различными способами на основе сочетательного и переместительного законов так, чтобы в каждой группе можно было вынести за скобки один и тот же множитель.

Пример. Разложить многочлен  на множители способом группировки.

Сгруппируем попарно слагаемые данного многочлена (первое со вторым и третье с четвёртым). В первой группе можем вынести за скобки общий множитель , а во второй . Тогда каждое слагаемое будет иметь общий множитель . Вынесем его за скобки и получим,

Данный многочлен можно также разложить на множители, сгруппировав первое и третье, второе и четвёртое слагаемые.

Рассмотренный способ разложения многочлена на множители бывает удобно использовать в вычислениях.

Третий способ: использование формул сокращённого умножения.

Формулы сокращённого умножения позволяют довольно эффективно представлять многочлен в форме произведения.

Пример. Давайте разложим на множители многочлен: . Воспользуемся формулой разности квадратов.

Вот так мы разложили наш многочлен на множители.

И ещё один способ разложения многочленов на множители – это выделение полного квадрата. Осуществляется он с помощью формул суммы и разности двух выражений.

Пример. Давайте разложим на множители многочлен: .

Первое слагаемое представляет собой квадрат выражения , третье слагаемое — квадрат выражения . Второе слагаемое можно записать, как удвоенное произведение  и . А, следовательно, данный многочлен мы можем записать в виде квадрата суммы . Или представить в виде произведения двух одинаковых множителей .

Итак, мы вспомнили все способы разложения многочленов на множители. Однако чаще всего каждый из этих способов в отдельности не приводит к цели, поэтому для разложения многочлена на множители приходится пользоваться их комбинацией.

Пример. Разложим многочлен  на множители.

Сгруппируем попарно слагаемые данного многочлена (первое с третьим и второе с четвёртым). В первой группе слагаемые имеют общий множитель , вынесем его за скобки. Во второй группе – общий множитель  – также вынесем его за скобки. Отсюда видно, что каждое слагаемое содержит множитель , вынесем его. Затем разложим первый множитель по формуле разности квадратов и получим произведение трёх множителей.

Таким образом, мы разложили многочлен на множители. При этом мы применили следующие способы разложения многочлена на множители: способ группировки, способ вынесения общего множителя за скобки и применение формулы разности квадратов.

Заметим, что этот многочлен можно также разложить на множители, сгруппировав первое и второе, третье и четвёртое слагаемые. Затем в первой группе вынести , во второй . Раскрыть скобки. Далее вынести общий множитель . И разложить второй множитель с помощью формулы разности квадратов. В результате получим произведение трёх множителей.

Итоги урока

На этом уроке мы повторили основные понятия, связанные с многочленами. А именно вспомнили, что многочлен это есть сумма одночленов. Кстати, любой одночлен также является многочленом. А число нуль называется нулевым многочленом. Вспомнили, как многочлены приводить к стандартному виду. Поговорили о том, как назвать степень многочлена. Затем вспомнили какие действия можно выполнять над многочленами и какие существуют способы разложения многочлена на множители.