Вероятности событий в испытаниях Бернулли

Напомним, что при проведении серии из  независимых испытаний Бернулли каждое элементарное событие, в котором  успехов и  неудач, имеет вероятность . Число таких элементарных событий с  успехами равно . Следовательно, событие «наступило ровно  успехов» имеет вероятность . Эту формулу часто называют формулой Бернулли.

Формула Бернулли. В серии испытаний Бернулли вероятность события «ровно  успехов» равна , где  число испытаний,  – вероятность успеха,  – вероятность неудачи.

Пример. Стрелок 5 раз стреляет по мишени с вероятностью попадания 0,7 при каждом отдельном выстреле. Найдём вероятность того, что мишень будет поражена ровно 3 раза.

Данный опыт представляет собой серию из 5 испытаний Бернулли.

В условии сказано, что вероятность попадания по мишени, то есть вероятность успеха, равна 0,7. Тогда вероятность неудачи равна 0,3.

Надо найти вероятность события А «ровно 3 попадания». Для этого воспользуемся формулой Бернулли.

Пример. Рассмотрим события, которые состоят в том, что число успехов заключено в некоторых пределах.

Бросаем игральный кубик. Успехом будем считать выпадение шестёрки, а неудачей – выпадение любого другого числа очков. Найдём вероятность того, что при 10 бросках шестёрка выпадет 5 или 6 раз.

Чтобы решить эту задачу, нужно сложить вероятность того, что шестёрка выпадет 5 раз, и вероятность того, что шестёрка выпадет 6 раз.

Вероятность выпадения шестёрки, то есть вероятность успеха, равна . Тогда вероятность неудачи равна .

Воспользуемся формулой Бернулли. К вероятности события «шестёрка выпадет 5 раз» прибавим вероятность события «шестёрка выпадет 6 раз».

В некоторых задачах вместо вероятности нужного события сначала удобно найти вероятность противоположного события.

Пример. Проводится серия из 5 испытания Бернулли. Вероятность успеха равна 0,2. Найдём вероятность того, что в этой серии наступит хотя бы один успех.

Надо найти вероятность события А «наступит хотя бы один успех». Давайте вместо события А рассмотрим противоположное ему событие «наступит 0 успехов».

В условии сказано, что вероятность успеха равна нулю 0,2. Тогда вероятность неудачи равна 0,8.

Найдём вероятность события  с помощью формулы Бернулли.

Сумма вероятностей взаимно противоположных событий равна 1. Следовательно,

В электронной таблице, чтобы найти вероятность по формуле Бернулли, используют функцию БИНОМ.РАСП().

На рисунке найдена вероятность того, что в 15 испытаниях Бернулли с вероятностью успеха 0,6 наступит ровно 10 успехов.

Обратите внимание на последний аргумент в скобках. Он равен 0. Если вместо 0 написать 1, то функция вычислит вероятность того, что успехов случилось 10 или меньше, то есть от 0 до 10.

Выполним задания.

Задание первое. В некотором испытании успех наступает с вероятностью 0,4. Найдите вероятность того, что в серии из 6 таких испытаний наступит: а) ровно 3 успеха; б) ровно 5 успехов; в) все испытания окончатся неудачей.

Решение.

Задание второе. Случайный эксперимент заключается в пятикратном бросании симметричной монеты. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно 2 раза.

Решение.

До встречи на следующих занятиях!