Примеры случайных величин

С величинами мы встречаемся очень часто. Обычно они возникают в результате измерений или вычислений.

При изучении школьных предметов встречаются такие величины как длина, путь, скорость, время, масса, температура и многие другие.

Величины бывают постоянными. Они не меняются, то есть сохраняют одно и то же значение. Переменные величины зависят друг от друга или меняются со временем. Для описания таких величин используются функции.

Большинство величин, с которыми мы имеем дело в повседневной жизни, подвержены случайной изменчивости. Иногда причины изменчивости неизвестны. Иногда они известны частично, а порой их можно указать точно.

Можно сказать, что на значения величин влияет множество известных или неизвестных случайных факторов.

Про некоторые величины мы заранее знаем, что они случайные. Например, число успехов в серии испытаний Бернулли – заведомо случайная величина.

Бывают величины, которые принято считать постоянными, но на самом деле они изменчивы – их значения во многом случайны. Например, напряжение в электрической сети.

В России номинальное (то есть заявленное) напряжение в бытовых сетях 220 В. Но в сети напряжение колеблется. Оно редко равно в точности 220 В. Обычно напряжение либо немного выше этого значения, либо немного ниже.

Посмотрите на результаты 15 измерений напряжения (в вольтах) в бытовой сети. Эти измерения были сделаны в дневное время, в случайно выбранные моменты.

Как вы видите, во время измерения напряжения последняя цифра постоянно изменяется в пределах нескольких единиц.

Напряжение в сети понижается, если в квартире или в доме включаются дополнительные электрические приборы. Моменты включения и выключения электроприборов являются случайными и приводят к случайной изменчивости напряжения. Кроме того, производитель электроэнергии не может обеспечить напряжение в точности 220 В, а при транспортировке электричества по линиям электропередач неизбежны потери, которые тоже непостоянны.

А ещё погрешности приборов превращают результаты измерений в случайные величины. Типичный пример – результаты измерений артериального давления человека. Инструкция к тонометру – прибору для измерения давления – рекомендует провести измерения несколько раз через определённые интервалы времени и усреднить результаты. Одного измерения недостаточно, поскольку результаты измерений неустойчивы из-за действия случайных факторов, которые невозможно учесть.

Следует отметить, что чаще всего изменчивость подчиняется закономерностям, которые проявляются при большом числе измерений или наблюдений.

Изменчивые величины, возникающие при проведении случайного эксперимента, будем называть случайными величинами.

Случайная величина – это величина, значение которой зависит от того, каким элементарным событием закончился случайный эксперимент.

Чтобы не путать на письме случайные величины и переменные, будем обозначать случайные величины большими буквами латинского алфавита.

Давайте приведём несколько примеров случайных величин.

Первый пример. Рассмотрим случайный эксперимент, в котором симметричную монету бросают 2 раза.

Пусть случайная величина  – число выпавших орлов.

Этот случайный эксперимент может закончиться одним из 4 элементарных событий. В зависимости от того, чем закончится случайный эксперимент, случайная величина может принять значение 0, 1 или 2.

Обратите внимание, что элементарный исход эксперимента и случайная величина – это разные объекты. В эксперименте наступает исход, а этому исходу соответствует значение случайной величины. Иногда разные исходы порождают одинаковые значения случайной величины. Так, исходы «орёл-решка» и «решка-орёл» дали одно и то же значение случайной величины.

Второй пример. Рассмотрим случайный эксперимент, в котором игральный кубик бросают 1 раз.

Случайной величиной  будем считать число выпавших очков. Так как кубик имеет 6 граней и число очков на каждой грани – целое число от 1 до 6, то случайна величина  принимает значения из множества чисел от 1 до 6.

Третий пример. Поговорим о случайном эксперименте, в котором игральный кубик бросают 2 раза.

Определим случайную величину  как наибольшее из выпавших очков. Например, если выпали числа 3 и 4, то значение случайной величины равно 4. Если выпало 6 и 6, то значение случайной величины равно 6.

Множество элементарных событий этого эксперимента представим в виде таблицы размером 6 на 6 клеточек, в каждую ячейку которой впишем соответствующее значение случайной величины .

Посмотрите, значение, равное 1, случайная величина  принимает только 1 раз. Значение 2 случайная величина принимает при трёх различных исходах эксперимента, значение 3 получается при пяти исходах, значение 4 – при семи исходах, значение 5 – при девяти исходах, а значение 6 – при одиннадцати исходах эксперимента. Тогда можно сказать, что случайная величина – это функция, значения которой представляют собой численные исходы некоторого случайного эксперимента.

Какое значение примет случайная величина в ходе эксперимента зависит от того, каким элементарным событием эксперимент закончится. В любом случае количество значений случайной величины не больше, чем количество элементарных исходов эксперимента, с которым эта величина связана.

Четвёртый пример. Случайная величина – рост выбранного наудачу человека.

Пятый пример. Случайный эксперимент – покупка лотерейного билета. Цена билета фиксирована. Случайная величина в этом эксперименте – выигрыш.

Шестой пример. Случайная величина – время безотказной работы бытового электроприбора. Свойства этой случайной величины важны, например, при установлении гарантийного срока на новую технику.

Седьмой пример. Случайная величина – число бракованных деталей в контрольной партии. Значение этой случайной величины зависит от многих факторов.

К основным причинам брака можно отнести качество материалов, из которых были изготовлены детали (если для деталей используется плохой материал, то детали будут браковаться чаще), технологию производства (если процесс изготовления сложный и требует высокой точности, вероятность брака увеличивается), состояние оборудования, на котором были изготовлены детали (ведь если оборудование старое или неправильно настроено, детали будут с дефектами), условия хранения (при неправильном хранении, например, под дождём или на морозе, детали могут испортиться), также к причинам брака можно отнести человеческий фактор (рабочий мог устать, отвлечься или не знать, как правильно изготовить деталь).

Восьмой пример. Масса расфасованных продуктов – случайная величина. Она может немного колебаться в ту или иную сторону от номинальной массы. Покупатель такие различия чаще всего не замечает. Зато производителю колебания массы небезразличны, ведь в случае серьёзного смещения он может понести убытки.

Девятый пример. Случайная величина – число успехов в серии испытаний Бернулли.

Пусть проводится 10 испытаний Бернулли. Число успехов в этой серии может принимать любое целое значение от 0 до 10. Число неудач также является случайной величиной.

Десятый пример. Симметричную монету бросают до тех пор, пока не выпадет орёл. Случайная величина в этом эксперименте – число бросаний. Значением этой случайное величины может быть любое натуральное число.

А вот разность чисел –5 и –11 не является случайной величиной, так как значение этой разности можно вычислить точно. Хотя если дать эту задачу на контрольной работе в 6 классе, то полученные ответы могут отличаться от верного ответа непредсказуемым образом. В таком случае ответ школьника можно рассматривать как случайную величину.

Если случайная величина принимает отдельные значения, которые «не сливаются» в интервалы или отрезки, то такую величину называют дискретной. Например, результаты бросания одной игральной кости или сумма выпавших очков при двух бросаниях кости – это дискретные величины. А вот температура воздуха в помещении – случайная величина, которая меняется непрерывно внутри некоторого интервала. Рост случайного человека – тоже случайная величина, которая может иметь любое значение внутри некоторого промежутка. Такие случайные величины называются непрерывными.

Отметим, что важной задачей теории вероятностей является изучение случайных величин и их числовых характеристик.

До встречи на наших занятиях!