Приведение дробей к общему знаменателю. Сравнение дробей

Представим себе такую историю…

Паша и Саша решили сходить в кафе. Саша заказал пиццу и попросил разрезать её на 6 равных частей. Паша заказал точно такую же пиццу, но попросил разрезать её на 8 равных частей. Когда пиццы принесли, мальчишки принялись их пробовать и при этом не забыли обсудить свои школьные успехи. Как вдруг Саша заметил:

– Паша, тебе не понравилась пицца?

– Почему? – удивился Паша. – Она очень вкусная!

– Но ты её совсем не ешь, – сказал Саша.

– Я уже съел целых 4 кусочка своей пиццы, – ответил Паша. – А сколько ты съел кусочков?

– Я тоже съел 4 кусочка пиццы, – посчитал Саша, – но у меня осталось только 2 кусочка.

– А у меня осталось ещё 4 кусочка, – сказал Паша.

– Как-то странно получается, – задумался Саша, – съели мы с тобой по одинаковому количеству кусочков пиццы, но почему-то у тебя пиццы осталось больше, чем у меня!

– Согласен, странно это, – сказал Паша. – Не понимаю, как так могло получиться. А давай спросим у Мудряша. Он уж точно найдёт объяснение.

– Ребята, прежде чем я вам расскажу о приведении дробей к общему знаменателю и сравнении дробей, давайте немного разомнёмся и выполним устные задания, – предложил Мудряш.

– Давайте сверимся! – сказал Мудряш. — Посмотрите, что у вас должно было получиться!

– Ну а теперь вернёмся к вашему вопросу, – начал Мудряш. — В кафе вы заказали 2 пиццы, причём Сашина пицца была разрезана на 6 равных кусочков, а Пашина – на 8. Каждый из вас съел по 4 кусочка своей пиццы. Обыкновенной дробью мы можем это записать так: , .  В итоге вы заметили, что у Паши осталось больше кусочков пиццы.

– Да! Всё было именно так, – согласились мальчишки. – Но разве такое возможно?

– Конечно! – ответил Мудряш. Мы с вами записали, что Саша съел  пиццы, а Паша – . Давайте попробуем сравнить эти дроби.

– Но мы умеем сравнивать только дроби с одинаковыми знаменателями, – сказали мальчишки. Здесь же записаны дроби, у которых разные знаменатели. А как сравнивают дроби с разными знаменателями?

– Если научиться заменять такие дроби на равные им, но с одинаковыми знаменателями, то решение новой задачи сведётся к решению уже знакомой вам задачи, – сказал Мудряш. – Дроби  и  имеют разные знаменатели. Однако с помощью основного свойства дроби их можно привести к общему знаменателю. Давайте вспомним основное свойство дроби.

– Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь: , –  сказали мальчишки.

Молодцы! – похвалил ребят Мудряш. – Тогда имеем: числитель и знаменатель дроби  умножим на 4 получим дробь ; числитель и знаменатель дроби  умножим на 3 получим дробь . Мы с вами сейчас дроби  и  мы привели к общему знаменателю 24. Для этого мы с вами числитель и знаменатель первой дроби умножили на число 4, которое называют дополнительным множителем. Числитель и знаменатель второй дроби умножили на дополнительный множитель 3. Кстати, дополнительный множитель обычно пишут над числителем справа или слева от него.

– А почему мы умножали дроби  и  именно на числа 4 и 3? – решили спросить мальчишки. — Можно же было и на другие числа умножить.

– Хороший вопрос! – обрадовался Мудряш. – Эти дроби можно привести и к другим знаменателям, например: к знаменателю равному 48, при этом дополнительный множитель к первой дроби будет равен 8, ко второй – 6; можно привести и к знаменателю равному 72, при этом дополнительный множитель к первой дроби будет равен 12, ко второй – 9.

– А как ты выбираешь дополнительные множители к дробям? – спросили ребята.

– Найденные общие знаменатели 24, 48, 72 являются общими кратными чисел 6 и 8 – знаменателей дробей  и .

– Запомните! – сказал Мудряш. – Общий знаменатель двух дробей – это общее кратное их знаменателей. При приведении дробей к общему знаменателю удобнее приводить их к наименьшему общему знаменателю, равному наименьшему общему кратному знаменателей этих дробей.

Для наших дробей  и  таким наименьшим общим знаменателем будет число 24.

– Запомните! – продолжил Мудряш. – Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо:

1) найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей;

2) найти дополнительные множители для каждой, разделив общий знаменатель на знаменатели данных дробей;

3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель.

– Тогда получается, что я съел больше пиццы? – удивился Саша. – Ведь дробь  больше дроби .

– Правильно! – согласился Мудряш. – Вы знаете, что при сравнении дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, числитель которой больше. В нашем случае числитель первой дроби 16 больше числителя второй дроби 12. Отсюда, дробь . Следовательно, дробь . Значит, Саша съел больше пиццы.

– Запомните! – сказал Мудряш. – Чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями, надо привести их к общему знаменателю, а затем применить правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.

– Давайте сравним дроби  и , – предложил Мудряш.

– Для начала приведём эти дроби к наименьшему общему знаменателю, – начал Паша. Наименьшее общее кратное знаменателей дробей  и  равно 240. Тогда дополнительный множитель к первой дроби равен 15, ко второй дроби – 4. Поскольку дробь  больше дроби , то и дробь .

– Молодцы! – похвалил ребят Мудряш. А теперь, ребята, давайте посмотрим, как вы всё поняли, и выполним несколько заданий.

Задание первое: приведите дроби к наименьшему общему знаменателю: а)  и ;     б)  и .

Решение: первая пара дробей  и . Наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей равно 84. Тогда дополнительный множитель к первой дроби равен 7, ко второй 2. Получим дроби  и .

Следующая пара дробей  и . Наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей также равно 84. Тогда дополнительный множитель к первой дроби равен 3, ко второй – 7. Получим дроби  и .

Следующее задание: расставьте дроби в порядке возрастания: а) ;      б) ;       в) ;        г) .

Решение: для начала нужно привести дроби к наименьшему общему знаменателю. Не трудно догадаться, что в нашем случае наименьший общий знаменатель будет равен 12. Тогда дополнительный множитель к первой дроби будет равен 3, ко второй – 1, к третьей – 4, к четвёртой – 2. Получим дроби: , ,  и . Мы знаем, что при сравнении дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, числитель которой больше. Тогда самой маленькой дробью будет дробь , следом за ней будет стоять дробь , затем дробь  и последней будет стоять дробь . А значит, наши первоначальные дроби будут стоять в таком порядке: , , , .