Числовые и буквенные выражения. Формулы

Представим себе такую историю.

– Паша, я вчера смотрел чемпионат мира «Формулы-1»! – рассказывал Саша. – Это такое зрелище! Ты только представь себе: болиды «Формулы-1» могут развить скорость аж до четырёхсот километров в час. Вот бы мне так погонять!

– Саша, ты что? – перебил Паша. – Это очень опасная скорость. И чтобы научиться так ездить, нужно многие годы тренироваться. А ты знаешь, что в математике тоже есть формулы?

– Формулы? – удивился Саша. – Ты хочешь сказать, что цифры устраивают гонки?

– Нет, Саша! Ты такой смешной! – засмеялся Паша. – Математические формулы совсем другие. Но лучше всех нам о них расскажет только Электроша.

– Ребята, прежде чем я вам расскажу о формулах, давайте немного разомнёмся и выполним устные задания, – предложил Электроша.

– Давайте сверимся! Посмотрите, что у вас должно было получиться!

– Ну а теперь поговорим о формулах, – предложил Электроша, – но прежде вам нужно разобраться в понятиях «числовое выражение» и «буквенное выражение».

Чтобы в них разобраться, ответьте мне на вопрос: как найти периметр прямоугольника, стороны которого равны, например, 4 и 8 см?

– Ну это же все знают, – начал Саша. – Периметр прямоугольника – это сумма длин всех его сторон. Тогда периметр нашего прямоугольника равен 4 + 8 + 4 + 8.

– Саша, – перебил Паша, – но в прямоугольнике же две пары равных сторон. Значит, вычислить периметр нашего прямоугольника можно было следующим образом: 2 умножить на 4 плюс 3 умножить на 8.

– Не спорьте, ребята, – сказал Электроша. – Вы оба правы! Периметр прямоугольника можно вычислить и первым, и вторым способом. Записи, которые вы составили, называют числовыми выражениями.

Запомните! Числовое выражение – это выражение, составленное из чисел, знаков арифметических действий и скобок.

– Электроша, а вот такая запись тоже будет числовым выражением? – решил спросить Саша.

– Нет, Саша, – ответил Электроша. – Важно понимать, что не всякая запись, составленная из чисел, знаков арифметических действий и скобок, будет являться числовым выражением. Запись, которую показал нам Саша, представляет собой бессмысленный набор символов.

В записи выражений никогда не применяются знаки равенств и неравенств.

– А теперь, может, вы мне скажете, чему же равен периметр нашего прямоугольника? – спросил Электроша.

– Периметр прямоугольника равен 24 см, – ответили мальчишки.

– Правильно! – подтвердил Электроша. – Число, которое получают в результате выполнения всех действий в числовом выражении, называют значением этого выражения.

Выражение не имеет значения, если какое-либо из действий в нём нельзя выполнить.

– А теперь скажите, чему равен периметр прямоугольника, стороны которого равны, например, 4 см и а см?

– Периметр этого прямоугольника будет равен 2 умножить на 4 плюс 5 умножить на а, – ответил Паша.

– Молодец! – похвалил Пашу Электроша. – Запись «2 умножить на 4 плюс 2 умножить на а» называют буквенным выражением.

Запомните! Буквенное выражение – это выражение, которое составлено из чисел, букв, знаков арифметических действий и скобок.

Вместо букв в буквенное выражение можно подставлять различные числа. При этом значение букв может изменяться, поэтому буквы в буквенном выражении называют ещё переменными. Если в буквенное выражение вместо буквы подставить число и выполнить все действия, то получим значение буквенного выражения.

Давайте вместо а в нашем буквенном выражении подставим число 10. Получим числовое выражение 2 умножить на 4 плюс 2 умножить на 10 равно 28. В этом случае число 28 является значением нашего буквенного выражения при а = 10.

– А буквенные выражения всегда имеют значения? – спросили мальчишки.

– Хороший вопрос! – ответил Электроша. – Буквенное выражение может не иметь значения в случае, если при подстановке значений букв в буквенное выражение получается числовое выражение, значение которого для натуральных чисел не может быть найдено. Такое числовое выражение называют некорректным для натуральных чисел. Говорят также, что значение такого выражения не определено для натуральных чисел, а само выражение не имеет смысла.

Например, найдём значение буквенного выражения а – b при а = 20, b = 25.

– Электроша, но 20 меньше 25, – заметили ребята, – а в вычитании натуральных чисел уменьшаемое всегда должно быть больше вычитаемого.

– Правильно вы заметили, – сказал Электроша. – В таком случае говорят, что выражение не имеет смысла при указанных а и b.

Как правило, в буквенных выражениях числовой множитель (коэффициент) пишут перед буквой, а знак умножения ставят только между числами. Например, вместо 2 умножить на а пишут просто 2а. Или вместо выражения 2 умножить на сумму чисел а и b пишут 2(a + b).

– А теперь скажите, чему равен периметр прямоугольника, стороны которого равны а см и b см?

– Периметр такого прямоугольника можно вычислить выражением 2а + 2b, – сказал Паша.

– Молодец! – похвалил Электроша. – Если мы подставим в это выражение вместо букв а и b соответственно числа 4 и 8, то получим числовое выражение 2 умножить на 4 плюс 2 умножить на 8. Это числовое выражение мы уже записывали для нахождения периметра первого прямоугольника. Если вместо букв а и b мы подставим, например, числа 4 и 10, то получим числовое выражение 1 умножить на 4 плюс 2 умножить на 10. Такое числовое выражение мы тоже уже записывали для вычисления периметра второго прямоугольника.

– Так что, Электроша, вместо чисел а и b можно подставлять разные числа? – спросили ребята.

– Да! – ответил Электроша. – Из одного буквенного выражения можно получить бесконечно много различных числовых выражений.

Если периметр прямоугольника обозначить буквой P, то получим равенство P = 2а + 2b. Такое равенство можно использовать для нахождения периметра любого прямоугольника. Такие равенства называют формулами.

– А! – воскликнул Саша. – Теперь понятно, про какие формулы говорил Паша.

Запомните! Правило, записанное в виде равенства двух буквенных выражений, называется формулой.

– Вы уже знакомы с некоторыми формулами, – продолжил Электроша. – Может, назовёте их?

– Если сторона квадрата равна а, то его периметр можно вычислить по формуле P = 4а, – начал Саша.

– А я ещё знаю формулу пути: S = vt, – продолжил Паша. – Здесь S – это пройденный путь, v – скорость движения, а t – время, за которое пройден путь S.

– Какие вы молодцы! – похвалил ребят Электроша. – А теперь, ребята, давайте посмотрим, как вы всё поняли, и выполним несколько заданий.

Задание первое: в каждый из овалов впишите значения буквенного выражения два эм плюс десять при значении буквы эм, указанном в соответствующем уголке фигуры.

Решение: начнём с первого уголка фигуры. Здесь m = 5. Подставим число 5 вместо m в буквенное выражение 2m + 10. Посчитаем. Получим 20. В следующем уголке записано число 0. Подставим его вместо буквы m в выражение. Получим 2 умножить на 0 плюс 10. Посчитаем и получим 10. Следующее число 10. Подставим его в выражение вместо буквы m. Получим 30. В следующем уголке записано число 105. Подставим его в выражение. Посчитаем и получим 220. И последнее число 15. Подставим его в выражение и посчитаем. Получим 40.

Следующее задание: заполните таблицу.

Решение: в первой строчке нам известно, что пешеход прошёл 8 минут со скоростью 70 м/мин. Воспользуемся формулой пути. Подставим в неё известные нам скорость и время. Посчитаем и получим, что пешеход прошёл 560 метров. В следующей строчке нам известно, что велосипедист за 2 часа проехал 24 км. Нужно узнать, с какой скоростью он ехал. Из формулы пути выразим скорость. Подставим наши данные в формулу. Посчитаем и получим, что скорость велосипедиста 12 км/ч. И в последней строчке нам известно, что автомобиль ехал со скоростью шестьдесят километров в час и проехал 240 км. Нужно узнать, сколько времени ехал автомобиль. Выразим из формулы пути время. Подставим в формулу известные значения. Посчитаем и получим, что автомобиль ехал 4 часа.

– Ребята, вы отлично справляетесь с заданиями! – с радостью сказал Электроша. – А значит, вы обязательно справитесь с моей непростой задачей.

Итак, Наташа купила в подарок своей маме шоколадное сердечко. Сколько весит эта шоколадка, если каждый квадратик весит 10 г?

Решение: сердечко состоит из 32 целых квадратиков и из 16 половинок квадратиков. Так как целый квадратик весит 10 г, то половинка квадратика весит 5 г. А тогда вес всего шоколадного сердечка можно найти так: 32 умножить на 10 + 16 умножить на 5. Посчитаем и получим, что сердечко весит 400 г.