Кинематика абсолютно твёрдого тела

Как вы знаете, в общем случае задача описания движения тел является довольно сложной. Но кинематика позволяет нам «разложить» любое сложное движение на три составляющих. Например, если у нас есть кусок резинового шланга, то мы можем изогнуть его (то есть изменить его форму), можем повернуть (то есть по-другому сориентировать в пространстве), а можем перенести в другое место, не изменяя его формы и ориентации. Следовательно, и форма, и ориентация в пространстве, и местоположение тела с течением времени могут изменяться. И каждому из этих изменений соответствует один из трёх основных видов механического движения — деформация, вращательное движение и поступательное движение.

Во многих задачах по кинематике деформированием тела можно пренебречь. В таких случаях для описания движения тела используют ещё одну механическую модель — абсолютно твёрдое тело. Так принято называть тело, расстояние между любыми двумя точками которого остаётся неизменным при его движении.

Наиболее просто описывается поступательное движение абсолютно твёрдого тела. При таком движении прямая, проходящая через любые две точки тела, остаётся параллельной самой себе.

Представим себе некое абсолютно твёрдое тело, которое движется поступательно. Выберем в нём две произвольные точки, например М и К, и проведём через них вектор . Так как тело абсолютно твёрдое, то длина этого вектора не изменяется в процессе движения, как не изменяется и его направление (движение-то у нас поступательное).

Следовательно, траектории точек М и К одинаковы, так как они могут быть полностью совмещены параллельным переносом на вектор .

Из полученного рисунка также видно, что перемещения исследуемых точек одинаковы и совершаются за одно и то же время. Следовательно, они имеют одинаковые скорости и ускорения. Любая другая точка нашего твёрдого тела (пусть это будет точка N) будет двигаться точно так же, как точки М и К: она опишет такую же траекторию, совершит такое же перемещение с той же скоростью и с тем же ускорением.

Тогда становится очевидным, что для описания поступательного движения абсолютно твёрдого тела достаточно описать движение какой-либо одной его точки. То есть мы можем использовать модель материальной точки. А как описывается её движение, мы с вами уже знаем.

Примером почти поступательного движения может служить движение выдвижного ящика письменного стола, поезда на прямолинейном участке дороги. Даже движение педали велосипеда или кабины колеса обозрения также можно считать поступательным.

Сложнее описывается вращательное движение абсолютно твёрдого тела. Вращательное движение — это движение, при котором происходит изменение ориентации тела в пространстве (проще говоря, его поворот).

В технике такой вид движения встречается очень часто: например, вращение валов двигателей и генераторов, турбин и пропеллеров самолётов.

Частным случаем вращательного движения является вращательное движение вокруг неподвижной оси.

Вращательным движением абсолютно твёрдого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором все точки тела описывают окружности, центры которых находятся на одной прямой, называемой осью вращения. При этом плоскости, которым принадлежат эти окружности, перпендикулярны оси вращения.

Очевидно, что при вращательном движении разные точки тела проходят за одно и то же время разные пути. Значит, и модули скоростей точек будут отличаться друг от друга. Но вот радиус-векторы, определяющие положение точек, за исследуемый промежуток времени поворачиваются на одинаковые углы. И чем больше угол поворота радиус-вектора за определённый промежуток времени, тем быстрее вращается тело. Для характеристики быстроты вращения была введена скалярная физическая величина, называемая угловой скоростью. Она численно равна отношению угла поворота радиус-вектора к промежутку времени, в течение которого этот поворот произошёл:

Обозначать угловую скорость мы будем греческой буквой (ω) «омега».

Если учесть, что в СИ угол поворота измеряется в радианах, а время — в секундах, получим, что единицей измерения угловой скорости является радиан в секунду (рад/с).

Давайте с вами вспомним, что радиан — это центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности.

Например, полному обороту тела по окружности соответствует угол:

Время, за которое тело совершает один полный оборот, называется периодом вращения.

Тогда формулу для определения угловой скорости можно переписать в таком виде:

Величина, обратная периоду, называется частотой вращения тела. Она показывает, сколько оборотов тело совершает за единицу времени:

Обозначается частота вращения греческой буквой «Ню» (ν). А единицей её измерения в СИ является оборот в секунду или секунда в минус первой степени:

Таким образом, мы с вами можем получить ещё одну формулу, по которой можно определить угловую скорость вращения тела:

Теперь давайте получим кинематическое уравнение движения тела по окружности. Итак, пусть в начальный момент времени угловая координата тела равна φ₀, а в некоторый момент времени t — φ.

Тогда за промежуток времени Δt = t – t₀ угол поворота радиус-вектора Δφ = φ – φ₀. Подставим эти данные в формулу для определения угловой скорости вращения:

И упростим её, приняв, что начальный момент времени равен нулю.

Выразив из полученного равенства угол φ, мы и получим кинематическое уравнение движения тела по окружности:

Оно позволяет определить положение любой точки тела в произвольный момент времени.

Обратим внимание на то, что угловая скорость может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Давайте условимся брать её со знаком «плюс», если угол между радиус-вектором, определяющим положение одной из точек твёрдого тела, и осью ОХ увеличивается, а со знаком «минус» — когда угол уменьшается.

Но вернёмся к нашему рисунку. Итак, очевидно, что за время поворота радиус-вектора точка пройдёт некоторый путь, равный длине дуги окружности. Тогда значение угла поворота радиус-вектора можно найти как отношение длины этой дуги к радиусу окружности:

Подставим значение этого угла поворота в формулу для определения угловой скорости тела:

Теперь вспомним, что отношение пути к промежутку времени, за который этот путь пройдён, есть модуль скорости точки. Эту скорость мы с вами будем называть линейной скоростью, дабы подчеркнуть её отличие от угловой скорости. Направлена линейная скорость по касательной к окружности в данной точке.

Тогда после небольших преобразований получим формулу, связывающую линейную скорость с угловой:

Из этой формулы следует, что чем дальше расположена точка тела от оси́ вращения, тем больше её линейная скорость. Но вот угловая скорость вращения для всех точек тела одинакова.

Например, угловая скорость вращения Земли вокруг своей оси примерно равна 7,3 ∙ 10^–5 рад/с. И эта скорость будет одинакова для любых точек нашей планеты. Но вот их линейная скорость будет существенно отличаться. Так, например, линейная скорость вращения точки на экваторе примерно равна 465 м/с. На широте 60^о она почти в два раза меньше (233 м/с). А на полюсах Земли — вообще равна нулю.

Мы уже с вами знаем, что при движении точки по окружности направление вектора линейной скорости непрерывно изменяется. То есть точка движется с ускорением, которое мы с вами назвали центростремительным. Напомним, что его модуль прямо пропорционален квадрату линейной скорости и обратно пропорционален радиусу окружности, по которой движется точка тела:

Учитывая это, а также связь между линейной и угловой скоростью получим формулу, связывающую центростремительное ускорение точки тела с угловой скоростью тела:

Предлагаем вам самостоятельно получить ещё две расчётные формулы для центростремительного ускорения, используя связь между угловой скоростью, периодом и частотой вращения.

Для закрепления материала решим с вами небольшую задачу. Вертолёт начал вертикальное снижение с ускорением 0,2 м/с². Определите число оборотов лопасти винта за время снижения на 40 м, если её длина равна 5 м, а частота вращения вокруг оси — 300 с^–1.