Основное свойство дроби

Представим себе такую историю…

Паша и Саша решили сходить в кафе, чтобы отпраздновать успешное окончание первой четверти. Саша заказал пиццу и попросил разрезать её на 4 равные части. Паша заказал точно такую же пиццу, но попросил разрезать её на 8 равных частей. Когда пиццы принесли, мальчишки принялись их пробовать и при этом не забыли обсудить свои планы на вторую четверть. Как вдруг Саша заметил:

– Паша, ну ты и шустряк! Пока мы с тобой разговаривали, ты успел съесть 4 кусочка своей пиццы.

– Ну да! – заметил Паша. – А ты сколько съел?

– Я пока съел только 2 кусочка, – ответил Саша.

– Но если посмотреть на наши пиццы, а точнее на то, что осталось, – сказал Паша, – то у нас с тобой осталось поровну.

– Точно! – согласился Саша. – Но как так получилось? Мы с тобой съели каждый по разному количеству кусочков пиццы, ты съел 4, а я – 2. А пиццы осталось и у тебя, и у меня – половина. А значит, и каждый из нас съел по половине пиццы.

– Не знаю, – задумался Паша. – А давай спросим у Мудряша. Он точно сможет нам помочь.

– Ребята, прежде чем я вас познакомлю с основным свойством дроби, давайте немного разомнёмся и выполним устные задания, – предложил Мудряш.

– Давайте сверимся! – сказал Мудряш. — Посмотрите, что у вас должно было получиться!

– Ну а теперь вернёмся к вашему вопросу, – начал Мудряш. — Но прежде давайте вспомним, что называют дробью.

– Записи вида , , , ,… называют обыкновенными дробями или короче – дробями, – начали мальчишки.

– Обыкновенные дроби записывают с помощью двух натуральных чисел и черты дроби, – продолжил Саша. — Число, записанное над чертой, называют числителем дроби, число, записанное под чертой, называют знаменателем дроби.

– Знаменатель дроби показывает, на сколько равных частей разделили нечто целое, а числитель – сколько таких частей взяли, – сказал Паша.

– Молодцы! – похвалил ребят Мудряш. — В кафе вы заказали 2 пиццы, причём Сашина пицца была разрезана на 4 равных кусочка, а Пашина – на 8. В свою очередь, Саша съел 2 кусочка своей пиццы, а Паша – 4. Обыкновенной дробью мы можем это записать так: , .  В итоге вы заметили, что у каждого из вас осталась половина пиццы, то есть каждый из вас съел по половине своей пиццы. Напомню, что половина на математическом языке имеет своё обозначение: . Тогда получается, что  часть пиццы равна  частям пиццы и равна  частей пиццы. Иначе говоря, дроби ,  и  выражают одну и ту же величину. Поэтому эти дроби называют равными и записывают это так: .

– А если бы мы попросили разрезать свои пиццы, например, на 6 равных частей или 12, – спросили мальчишки, – то как можно было бы записать, сколько каждый из нас съел?

– Если бы, например, Саша попросил разрезать свою пиццу на 6 равных частей, а Паша — на 12, – сказал Мудряш, – то Саша съел бы  частей пиццы, а Паша – . О дробях  и  также можно сказать, что они равны.

– Это значит, – решили уточнить мальчишки, – что .

– Вы правильно заметили, – согласился Мудряш. – Эту цепочку равенств можно записать иначе: . Записанные равенства показывают, что, умножив числитель и знаменатель дроби одна вторая на одно и то же натуральное число, мы получим дробь равную . Пример с пиццей показывает одно очень интересное и полезное свойство дроби.

– Запомните! – сказал Мудряш. – Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь. В буквенном виде это свойство можно записать так: . Кстати, это свойство имеет специальное название. Его называют основным свойством дроби.

– Давайте проверим, как работает основное свойство дроби, – предложил Мудряш. — Закончите следующую цепочку .

– Наша исходная дробь —  – начали мальчишки. — По основному свойству дроби мы должны числитель и знаменатель этой дроби умножить на одно и то же число. Чтобы знаменатель дроби стал равен 40, мы должны 8 умножить на 5. Тогда умножим на 5 числитель и знаменатель дроби . Получим дробь .

– Всё правильно! – согласился Мудряш. — Если буквенную запись основного свойства дроби переписать в обратном порядке, то можно прийти к следующему выводу. Запомните! Если числитель и знаменатель дроби разделить на их общий делитель, то получится равная ей дробь.

– Вы уже знаете, что дроби, как и натуральные числа, можно изображать точками на координатном луче, – продолжил Мудряш. — Давайте начертим в тетради координатный луч, за единичный отрезок возьмём 10 клеток. А теперь отметьте на координатном луче точки с координатами: , ,  и .

–  – это половина, – начал рассуждать Саша. – Значит, мы должны поставить точку А посередине единичного отрезка, то есть через 5 клеток. Чтобы отметить точку В с координатой , нужно наш единичный отрезок 10 клеток разделить на 10 и умножить на 5. То есть через 5 клеток.

– Теперь отметим точку С с координатой , – сказал Паша. — Для этого наш единичный отрезок 10 клеток разделим на 5 и умножим на 2. Получим 4. Значит, отметим точку через 4 клетки. И осталось отметить точку D с координатой . Единичный отрезок 10 клеток разделим на 10 и умножим на 4. Получим 4. Отметим точку через 4 клетки.

– Что вы можете сказать об этих точках? – спросил Мудряш.

– Точка А с координатой  равна точке B с координатой , – сказал Саша.

– Точка C с координатой  равна точке D с координатой , – ответил Паша.

– Молодцы! – похвалил ребят Мудряш. — Эти примеры ещё раз подтверждают основное свойство дроби.

А теперь, ребята, давайте посмотрим, как вы всё поняли, и выполним несколько заданий.

Задание первое: укажите пропущенные значения числителя или знаменателя, при котором данная запись будет верной: а) ;     б) ;     в) .

Решение: начнём с первого равенства . Чтобы в дроби знаменатель стал равным 9, числитель и знаменатель дроби  нужно умножить на 3. Тогда в числителе будет записано число 3. Чтобы числитель дроби стал равным 5, числитель и знаменатель дроби  нужно умножить на 5. Тогда в знаменателе будет стоять число 15. А чтобы знаменатель дроби стал равным 30, числитель и знаменатель дроби  нужно умножить на 10. Тогда в числителе будет записано число 10.

Перейдём к следующем равенству . Чтобы знаменатель дроби стал равным 15, числитель и знаменатель дроби  нужно умножить на 3. Тогда в числителе дроби будет записано число 6. Чтобы числитель дроби стал равным 16, числитель и знаменатель дроби  нужно умножить на 8. Тогда в знаменателе дроби будет стоять число 40. А чтобы знаменатель дроби стал равным 75, числитель и знаменатель дроби  нужно умножить на 15. Тогда в числителе дроби будет записано число 30.

И перейдём к последнему равенству . Чтобы знаменатель дроби стал равным 33, числитель и знаменатель дроби  нужно умножить на 3. Тогда в числителе дроби будет записано число 9. Чтобы числитель дроби стал равным 21, числитель и знаменатель дроби  нужно умножить на 7. Тогда в знаменателе дроби будет стоять число 77. А чтобы знаменатель дроби стал равным 121, числитель и знаменатель дроби  нужно умножить на 11. Тогда в числителе дроби будет записано число 33.

Следующее задание: пользуясь основным свойством дроби, найдите значение а, при котором верно равенство: а) ;      б) ;       в) ;        г) .

Решение: первое равенство . Умножим на 9 числитель и знаменатель дроби . Тогда получим , отсюда .

Второе равенство . Разделим числитель и знаменатель дроби  на 3. Получим . Значит, .

Следующее равенство . Умножим на 16 числитель и знаменатель дроби . Получим . Тогда .

И последнее равенство: . Умножим на 3 числитель и знаменатель дроби . Получим . Отсюда .