Простейшие задачи на построение

Математиков всегда интересовали построения геометрических фигур, которые можно выполнить при помощи линейки и циркуля. В геометрии специально выделяют задачи на построение, которые могут быть решены с использованием только этих двух инструментов.

При решении задач на построение линейка считается односторонней и без делений. При помощи такой линейки нельзя построить две параллельные прямые, проведя линии по краям линейки, нельзя измерять и откладывать отрезки, нельзя строить перпендикуляры, используя прямоугольную форму линейки.

Назовём операции, которые можно выполнять линейкой, и операции, которые можно выполнять при помощи циркуля.

При помощи линейки можно провести (построить) произвольную прямую и прямую, проходящую через две точки.

При помощи циркуля можно построить произвольную окружность и окружность (дугу окружности) с данным центром и радиусом, равным данному отрезку, и отложить отрезок, равный данному отрезку, на некоторой прямой.

Операция откладывания отрезка на прямой позволяет построить сумму и разность двух отрезков.

При построении суммы двух отрезков на произвольной прямой откладывают последовательно два отрезка. При построении разности двух отрезков на большем отрезке от любого его конца откладывают меньший отрезок.

При решении задач на построение будем считать процедуру откладывания отрезка на прямой элементарной операцией и не будем её описывать.

Перечислим пять основных задач на построение, к которым сводятся другие задачи.

Задача первая. Построение треугольника по трём сторонам.

Задача вторая. Построение угла, равного данному.

Задача третья. Построение биссектрисы угла.

Задача четвёртая. Построение середины отрезка.

Задача пятая. Построение прямой, перпендикулярной данной.

На эти основные задачи ссылаются, решая сложные задачи, не описывая ту часть решения, которая связана с одной из основных задач.

Отметим, что в треугольнике  стороны, противолежащие углам ,  и , будем соответственно обозначать ,  и , а сами углы – ,  и .

Медианы, проведённые к сторонам ,  и , будем соответственно обозначать ,  и ; высоты – ,  и ; биссектрисы – ,  и .

Задача первая.

Построить треугольник со сторонами ,  и .

Решение.

Пусть даны отрезки ,  и .

На произвольной прямой откладываем отрезок .

Строим окружность радиусом  с центром в точке .

Строим окружность радиусом  с центром в точке .

Находим точку пересечения построенных окружностей и обозначаем её большой латинской буквой .

Проводим отрезок  и отрезок .

Получился треугольник . Это искомый треугольник, так как у него по построению , , .

Важно помнить, что эта задача имеет решение, если для данных отрезков выполняется неравенство треугольника.

Если решение существует, то оно единственное, поскольку все построенные треугольники будут равны по третьему признаку равенства треугольников.

Из этого следует, что если для чисел ,  и  выполняется неравенство треугольника, то существует, и причём единственный, треугольник со сторонами ,  и .

При решении задач на построение под числом решений понимается число фигур разной формы, удовлетворяющих условию.

Задача вторая.

Построить угол, равный данному углу.

Решение.

Пусть дан . Нам нужно построить равный ему .

Идея решения данной задачи состоит в том, чтобы построить треугольник  с  и равный ему треугольник .

Построим произвольный луч .

Произвольным, но одним и тем же радиусом строим дугу с центром в точке  и дугу с центром в точке . Получаем, что отрезки ,  и  равны между собой.

Теперь строим дугу окружности радиусом  с центром в точке  до пересечения её с уже построенной дугой в точке . Затем строим луч .

Угол  – искомый угол.

Действительно так, ведь треугольники  и  равны по трём сторонам (их соответствующие стороны равны по построению), а значит,  как соответствующие углы в двух равных треугольниках.

Построение угла, равного данному, даёт возможность строить сумму и разность двух углов.

Задача третья.

Построить биссектрису данного угла.

Решение.

Пусть дан . Нам нужно построить его биссектрису.

Для этого строим дугу окружности произвольного радиуса с центром в точке  так, чтобы она пересекала стороны угла в точках  и .

Далее одинаковым радиусом (большим ) строим дугу с центром в точке  и дугу с центром в точке  до их пересечения в точке .

Теперь строим луч , который является искомой биссектрисой.

Действительно так, потому что треугольники  и  равны по трём сторонам (,  как радиусы, а сторона  – общая). Следовательно, .

Задача четвёртая.

Построить середину отрезка (разделить данный отрезок пополам).

Решение.

Пусть  – данный отрезок.

Построим дугу радиусом  с центром в точке  и дугу радиусом  с центром в точке . Отметим пересечение этих дуг точками  и .

Теперь через точки  и  проводим прямую.

В пересечении прямых  и  получаем точку , которая и является серединой отрезка .

Докажем, что это действительно так.

Точки  и  равноудалены от концов отрезка , поскольку отрезки , ,

и  равны как радиусы. Значит, точки  и  лежат на серединном перпендикуляре к отрезку .

Поскольку две точки задают единственную прямую, то  – серединный перпендикуляр к отрезку . Следовательно,  равно .

Рассмотренный способ построения середины отрезка также является и способом построения серединного перпендикуляра к отрезку.

Задача пятая.

Построить прямую, перпендикулярную прямой  и проходящую через данную точку .

Решение.

Алгоритм построения одинаков для случая, когда точка  не принадлежит прямой  и когда точка  принадлежит прямой .

В первую очередь проводим дугу с центром в точке , которая пересекает прямую  в точках  и .

Затем из точек  и  как из центров одним и тем же радиусом (большим или равным ) проводим дуги до пересечения их в точке .

Строим прямую  и получаем, что построенная прямая  перпендикулярна данной прямой .

Докажем это.

Точки  и  равноудалены от концов отрезка , так как А,  как радиусы. Это значит, что  – серединный перпендикуляр к отрезку . Следовательно, .

При решении задач на построение выделают четыре этапа.

Первый этап. Анализ.

На этом этапе предполагают, что задача решена, делают чертёж с изображением искомой фигуры и указывают идею решения задачи.

Второй этап. Построение.

На данном этапе дают описание последовательности шагов, приводящих к построению искомой фигуры, то есть алгоритм построения. Иногда на этом этапе проводят и сами операции построения на произвольно взятых отрезках, углах и других фигурах. В сложных задачах обычно указывают лишь шаги построения, ссылаясь на основные и ключевые задачи.

Третий этап. Доказательство.

На этом этапе доказывают, что построенная фигура удовлетворяет требованию задачи. Иногда это следует непосредственно из построения.

Четвёртый этап. Исследование.

На данном этапе определяют, при какой величине заданных в условии отрезков и углов существует решение и число решений.

При записи решения задачи на построение этапы анализа и исследования в школьной геометрии необязательны, если в условии задачи нет специальных указаний.

Выполним несколько заданий.

Задание первое.

Постройте треугольник по двум сторонам и углу между ними.

Решение.

Задание второе.

Постройте центр данной окружности.

Решение.

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности. Тогда серединные перпендикуляры к двум хордам окружности будут пересекаться в её центре.

Задание третье.

Постройте треугольник по стороне , прилежащему углу  и биссектрисе .

Решение.

В некотором смысле «линейка» и «циркуль» – это два идеальных робота, которые могут выполнять определенный набор операций. И наша задача – составить алгоритм из последовательности таких операций – команд для этих роботов, который приведет к построению необходимой фигуры. Можно сказать, что нужно написать программу для циркуля и линейки.

До встречи на следующих занятиях!