В мире геометрии

С давних времён людям приходилось выполнять измерительные работы. Это была разметка земельных участков, проведение дорог, строительство зданий и сооружений. В результате этой деятельности и возникла геометрия. Слово «геометрия» в переводе с греческого языка означает «землемерие».

Считается, что истоки геометрии находятся в Древнем Египте, ведь строительство храмов и пирамид требовало знаний, позволяющих выполнять сложные чертёжные и измерительные работы.

Со временем в результате практической деятельности людей накопилось много правил, связанных с геометрическими построениями и измерениями, и геометрия сформировалась как самостоятельная наука, занимающаяся изучением геометрических фигур.

При изучении геометрии очень важно уметь смотреть и видеть, замечать особенности геометрических фигур, делать выводы из замеченных особенностей. Эти умения нужно постоянно тренировать и развивать. Давайте сегодня на занятии этим и займёмся.

Начнём с кроссворда.

Обратите внимание, что, разгадав кроссворд, мы узнаем ключевое слово.

Итак, первый вопрос: часть прямой линии между двумя точками, включая эти точки. 7 букв. Наверняка, вы уже догадались, что это отрезок. Запишем слово в кроссворд.

Второй вопрос: сумма длин всех сторон многоугольника. 8 букв. Это периметр. Запишем слово в кроссворд.

Третий вопрос: единица измерения длины, равная десяти миллиметрам. 9 букв. Конечно же, вы знаете, что это сантиметр.

Четвёртый вопрос: половина диаметра. 6 букв. Это радиус. Запишем слово в кроссворд.

Пятый вопрос: отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины многоугольника. 9 букв. Это диагональ.

Шестой вопрос: инструмент для построения и измерения углов на плоскости. 11 букв. Такой инструмент вам знаком. Это транспортир.

Седьмой вопрос: имеет начало, но не имеет конца. 3 буквы. Это луч.

Восьмой вопрос: четырёхугольник, у которого все углы прямые. 13 букв. Конечно же, вы догадались, что это прямоугольник. Запишем слово в кроссворд.

Девятый вопрос: геометрическая фигура на плоскости, все точки которой равноудалены от данной точки. 10 букв. Очевидно, что речь идёт об окружности. Запишем слово в кроссворд.

Десятый вопрос: инструмент для черчения окружностей. 7 букв. Окружности мы чертим при помощи циркуля. Запишем слово в кроссворд.

И последний, одиннадцатый вопрос: прямоугольник, у которого все стороны равны. 7 букв. Это квадрат.

Кроссворд разгадан. Ключевое слово в кроссворде – «треугольник».

Теперь перейдём к решению задач.

На отрезке АВ взяты четыре точки: С, D, F, К. Сколько отрезков изображено на рисунке?

Правильный ответ: 15 отрезков.

На первый взгляд может показаться, что на рисунке изображено только 5 отрезков: АC, CD, DF, FK и KB. Но это не так.

Давайте внимательно посмотрим на рисунок и сосчитаем отрезки.

Итак, отрезок AC, отрезок АD, отрезок АF, АK и АB.

Далее отрезок CD, отрезок CF, CK и CB.

Затем отрезок DF, отрезок DK и отрезок DB.

Потом отрезок FK и отрезок FB.

И ещё один отрезок KB.

Таким образом, мы назвали все отрезки. Их действительно 15.

Сколько различных четырёхугольников изображено на рисунке?

Правильный ответ: 6 четырёхугольников.

Квадрат со стороной 9 см разбит на квадраты со сторонами 3 см, как показано на рисунке. Сколько на этом рисунке квадратов со сторонами 6 см?

Правильный ответ: 4 квадрата.

Сколько спичек длиной 5 см понадобится, чтобы выложить квадрат со стороной 15 см и разделить его на равные квадратики со сторонами 5 см?

Правильный ответ: 24 спички.

Давайте проверим. В условии задачи сказано, что длина одной спички равна 5 см. Тогда чтобы выложить сторону квадрата длиной 15 см, нам понадобится 3 спички.

Чтобы выложить квадрат со стороной 15 см нам понадобится 3 умножить на 4, то есть 12 спичек.

Теперь внутри этого квадрата выложим спички так, чтобы у нас получались квадратики с длиной стороны, равной 5 см, то есть одной спичке.

Получается, что всего нам понадобилось 12 плюс 12, то есть 24 спички.

На окружности отмечены 5 точек. Через каждые 2 из них можно провести прямую и притом только одну. Сколько различных прямых получается?

Правильный ответ: 10 прямых.

Чтобы убедиться в этом, начертим окружность любого размера. Отметим на этой окружности пять точек: А, B, C, D и Е.

Сначала проведём прямые через каждые две соседние точки.

Затем проведём прямую через точки А и С и прямую через точки А и D. Потом проведём прямую через точки B и Е. и прямую через точки B и D. Осталось провести прямую через точки C и Е.

Таким образом, у нас получилось 10 различных прямых.

Чему равна длина ломаной, изображённой на рисунке?

Правильный ответ: 18 см.

Давайте убедимся в этом. Итак, мы знаем, что длина ломаной – это сумма длин всех её звеньев. Чтобы найти длину всей ломаной, сначала нам надо найти длину каждого звена.

Обратите внимание, что длина двух клеточек равна 1 см. Отрезок АB состоит из 12 клеточек, а значит, его длина равна 6 см. Отрезок BC состоит из 6 клеточек, тогда его длина равна 3 см. Длина отрезка CD, который состоит из 8 клеточек, равна 4 см. Длина отрезка DE равна 2 см, так как он состоит из 4 клеточек. Отрезок EF состоит из 6 клеточек, а значит, его длина равна 3 см.

Выполним сложение и получим, что длина ломаной равна 18 см.

Чему равен радиус окружности, диаметр которой равен 76 мм?

Правильный ответ: 38 мм.

Так как радиус окружности равен половине её диаметра, то разделив 76 на 2, получим, что радиус данной окружности равен 38 мм.

Длина прямоугольника 16 см, а ширина – 12 см. Чему равна сторона квадрата, который имеет такой же периметр?

Правильный ответ: 14 см.

Давайте проверим. Найдём периметр прямоугольника, длина которого равна 16 см, а ширина – 12 см. Для этого сумму длины и ширины умножим на 2. Это равно 56 см.

Нам надо найти сторону квадрата, периметр которого равен 56 см.

Все стороны квадрата равны. У квадрата 4 стороны. А значит, разделим 56 на 4 и получим, что сторона такого квадрата равна 14 см.

Чему равна площадь фигуры, изображённой на рисунке?

Правильный ответ: 38 см².

Обратите внимание, что данная фигура не является ни прямоугольником, ни квадратом. Чтобы найти площадь этой фигуры, удобно разделить её на 2 прямоугольника, например, вот таким образом.

Итак, первый прямоугольник. Его стороны равны 8 см и 4 см. Тогда площадь этого прямоугольника равна произведению 8 и 4, то есть равна 32 см².

Второй прямоугольник. Одна его сторона известна. Она равна 2 см. Другую сторону найдём, если из 7 вычтем 4. Получим 3 см. Тогда площадь этого прямоугольника равна произведению 3 и 2, то есть равна 6 см².

Теперь мы знаем площади прямоугольников, на которые разделили сложную фигуру. Чтобы найти площадь всей фигуры, изображённой на рисунке, сложим 32 и 6 и получим 38 см².

Площадь этой фигуры можно было бы найти, разделив её на простые фигуры и вот таким образом.

Является ли квадрат со стороной 6 см и прямоугольник со сторонами 9 см и 4 см равновеликими фигурами?

Правильный ответ: являются.

Фигуры являются равновеликими, если их площади равны. Площадь квадрата со стороной 6 см равна 36 см². Площадь прямоугольника со сторонами 9 см и 4 см тоже равна 36 см².

Получается, что площади данных фигур равны, а значит, квадрат и прямоугольник – равновеликие фигуры.

Из проволоки, длина которой 72 см, сделали каркас куба. Поместится ли эта модель в коробку высотой 5 см?

Правильный ответ: не поместится.

Так как у куба 12 рёбер, то длина ребра, изготовленного из проволоки каркаса, равна 72 разделить на 12, то есть 6 см. А значит, в коробку высотой 5 см эта модель действительно не поместится.

Сколько осей симметрии имеет квадрат?

Правильный ответ: 4.

Действительно так. Две оси симметрии проходят через противоположные углы квадрата. Ещё две оси проходят через середины его противоположных сторон. Всего 4 оси симметрии.

Сколько осей симметрии имеет фигура, изображённая на рисунке?

Правильный ответ: данная фигура имеет только одну ось симметрии.

Можно ли замостить плоскость копиями фигуры, изображённой на рисунке?

Правильный ответ: можно.

Сначала из четырёх таких фигур составим квадрат.

А потом уже такими квадратами мы легко замостим нужную нам плоскость.

На рисунке изображён произвольный четырёхугольник. Можно ли замостить плоскость его копиями?

Правильный ответ: можно.

Укладывая копии четырёхугольника, изображённого на рисунке, вот таким образом, можно замостить плоскость.

Друзья, на этом наше занятие подошло к концу. Вы отлично справились и с кроссвордом, и с задачами. Успехов вам в изучении геометрии! И до новых встреч!