Признаки делимости на 9 и на 3

Представим себе такую историю…

– Чем занимаешься – спросил у друга Паша.

– Рассматриваю наборы для создания моделей самолётов – сказал Саша.

– Вау! Какие они суперские – обрадовался за друга Паша.

– Представляешь, я сегодня купил целых 9 наборов и обошлись они мне совсем дёшево – продолжил Саша. Все 9 наборов стоили одинаково, и за все я отдал всего лишь 4600 рублей.

– И вправду хорошая покупка – согласился Паша, – только вот какая-то неправильная у тебя сумма за покупку получилась.

– Почему? – удивился Саша.

– Да потому что за 9 наборов, которые имели одну и ту же стоимость, ты никак не мог заплатить 4600 рублей – недоумевал Паша. Я бы ещё согласился с суммой, если бы ты сказал, что за всё отдал 4500 рублей или, например, 5400 рублей.

– Да всё правильно! – возмутился Саша. За все наборы я заплатил 4600 рублей.

– Скорее всего ты что-то напутал – сказал Паша. Потому что 4600 не делится нацело на 9.

– Ты знаешь, всё-таки ты прав! Я заплатил за свои новые наборы 4500 рублей – вспомнил Саша. А как ты понял, что за 9 наборов я не мог заплатить 4600 рублей – спросил Саша.

– Чтобы быстро ответить на вопрос, делится ли одно число на другое без остатка, не всегда нужно выполнять деление – сказал Паша. Для некоторых делителей есть способ более удобный: для них существуют признаки делимости.

– Ну да, я помню – сказал Саша, – существуют признаки делимости на 10, на 5 и на 2. Но здесь же совсем другой случай. Здесь то нужно было делить на 10.

– Существует и признак делимости на 9 – ответил Паша.

– И на какую же цифру должно заканчиваться число, чтобы оно нацело делилось на 9 – спросил Саша.

– Признак делимости на 9 совсем не зависит от последней цифры числа – сказал Паша. Но чтобы в этом разобраться лучше, давай поговорим с Мудряшом. Он уж точно всё знает!

– Ребята, прежде чем я вам помогу разобраться с признаками деления, давайте немного разомнёмся и выполним устные задания, – предложил Мудряш.

 – Давайте сверимся! – сказал Мудряш. — Посмотрите, что у вас должно было получиться!

– Ну а теперь вернёмся к вашему вопросу, – начал Мудряш. Паша верно заметил, что за 9 наборов для создания моделей самолётов никак нельзя заплатить 4600 рублей, потому что это число не делится нацело на 9. А вот заплатить 4500 рублей возможно. Дело в том, что делимость числа на 9 зависит от суммы цифр числа. Давайте найдём сумму цифр чисел 4500 и 4600.

– Сумма цифр числа 4500 = 4 + 5 + 0 + 0 = 9, в свою очередь сумма цифр числа 4600 = 4 + 6 + 0 + 0 = 10 – посчитал Саша.

– Хорошо! – сказал Мудряш. Посмотрите, сумма цифр первого числа равна 9. 9 делится нацело на 9. Значит, и само число 4500 делится нацело на 9. Сумма цифр второго числа равна 10. 10 не делится нацело на 9. Следовательно, и само число 4600 не делится нацело на 9.

– Запомните! – сказал Мудряш. Если сумма цифр числа делится нацело на 9, то и само число делится нацело на 9.

Если сумма цифр числа не делится нацело на 9, то и само число не делится нацело на 9.

Эти два утверждения называют признаком делимости на 9.

Для делителя 3 тоже существует признак делимости – продолжил Мудряш. И он очень похож на признак делимости на 9.

– Запомните! Если сумма цифр числа делится нацело на 3, то и само число делится нацело на 3.

Если сумма цифр числа не делится нацело на 3, то и само число не делится нацело на 3.

Эти два утверждения называют признаком делимости на 3.

– Давайте проверим так ли это на самом деле – предложил Мудряш. Возьмём числа: 743 и 12 345. Выясним делятся ли они нацело на 3 сначала применяя признак делимости, а потом – делением уголком.

– Найдём сумму цифр первого числа – начал Паша. . Число 14 не делится нацело на 3. Значит, число 743 не делится нацело на 3.

– Найдём сумму цифр второго числа – продолжил Саша. . Число 15 делится нацело на 3. Значит, и число 12 345 делится нацело на 3.

– Молодцы! – похвалил ребят Мудряш. А теперь посмотрите, чему равно частное этих чисел, если находить его делением уголком.

– И точно признак делимости на 3 работает верно! – воскликнули мальчишки.

А теперь, ребята, давайте посмотрим, как вы всё поняли, и выполним несколько заданий.

Задание первое: заполните таблицы. Если указанное число делится нацело на 3 (в первой таблице), на 9 (во второй), то в третьем столбце таблицы поставьте знак “+”, если не делится – знак “–”.

Решение: мы знаем, что если сумма цифр числа делится нацело на 3, то и само число делится нацело на 3. Сумма цифр первого числа равна 15. 15 делится на 3, значит и число 87 делится на нацело 3. Сумма цифр следующего числа равна 12. 12 делится на 3. Следовательно, и число 165 делится нацело на 3. Сумма цифр последнего числа этой таблицы равна 4. 4 не делится нацело на 3. Значит, число 211 000 тоже не делится нацело на 3.

Перейдём к следующей таблице. Мы знаем, что если сумма цифр числа делится нацело на 9, то и само число делится нацело на 9. Сумма цифр первого числа равна 12. 12 не делится нацело на 9. Значит, число 84 тоже не делится нацело на 9. Сумма цифр следующего числа равна 9. 9 делится на 9. Следовательно, число 315 делится нацело на 9. Сумма цифр последнего числа равна 18. 18 делится на 9. Значит, и число 111 834 делится нацело на 9.

Следующее задание: в числе  замените звёздочку цифрой так, чтобы полученное число делилось на 3, но не делилось на 9.

Решение: чтобы число делилось нацело на 3, сумма цифр этого числа должна делиться на 3. А чтобы число не делилось нацело на 9, сумма цифр этого числа должна не делиться на 9. Значит, вместо звёздочки мы можем поставить либо цифру 2, либо цифру 8. В первом случае сумма цифр числа будет равна 6. 6 делится на 3, но не делится на 9. Тогда и число 1122 будет делиться на 3, но не будет делиться на 9. Во втором случае сумма цифр числа равна 12. 12 делится на 3, но не делится на 9. Следовательно, число 1128 делится на 3, и не делится на 9.