Функция у = cos x и её график

Сегодня на уроке мы с вами поговорим о функции . Рассмотрим график функции , а также основные свойства этой функции.

Прежде чем приступить к рассмотрению новой темы, давайте напомним, что функция  определена на всей числовой прямой, а множеством её значений является отрезок . Функция  ограничена и её график расположен в полосе между прямыми  и .

Также мы знаем, что функция  периодическая с периодом , а значит, достаточно построить её график на промежутке длиной . Например, на отрезке .

На предыдущем уроке мы с вами выяснили, что функция  является чётной. Известно, что график чётной функции симметричен относительно оси ординат.

Тогда для построения графика на отрезке  нам достаточно построить его на отрезке , а затем симметрично отразить относительно оси Oy.

Прежде чем мы перейдём к построению графика, покажем, что функция  убывает на отрезке .

Давайте на единичной окружности с центром в начале координат отметим точку . Тогда при повороте точки  вокруг начала координат против часовой стрелки на угол  получим точку . Абсцисса этой точки – .

При повороте точки  вокруг начала координат против часовой стрелки на угол  получим точку . Абсцисса этой точки – .

Обратите внимание, что при повороте точки  вокруг начала координат против часовой стрелки на угол от  до  абсцисса точки, то есть , уменьшается от  до . Поэтому если , то . Это значит, что функция  убывает на отрезке .

Теперь давайте найдём координаты некоторых точек графика функции  и заполним таблицу значений функции.

Используя свойство убывания функции  и отметив полученные точки на координатной плоскости, построим график функции на отрезке .

Так как функция игрек равно косинус икс является чётной, то мы можем отразить построенный на отрезке  график симметрично относительно оси Oy. В результате получим график этой функции на отрезке .

Длина этого отрезка равна , то есть равна периоду функции. А значит, мы можем распространить график по всей числовой прямой с помощью сдвигов на ,  и так далее вправо и на ,  и так далее влево, то есть на , .

Получается, что мы геометрически построили график функции  на всей числовой прямой, начав с построения его части на отрезке .

Тогда свойства рассматриваемой функции можно получить, опираясь на её свойства на отрезке .

Так, например, мы выяснили, что функция  убывает на отрезке  и является чётной, а значит, на отрезке  она возрастает.

А сейчас давайте поговорим об основных свойствах функции .

Вы уже знаете, что область определения функции – множество  всех действительных чисел.

Множество значений – отрезок .

Функция является чётной, то есть .

График функции симметричен относительно оси ординат.

Функция периодическая с периодом .

Функция принимает значение, равное , при , .

Наибольшее значение  функция принимает при .

Наименьшее значение  функция принимает при ,.

 при , .

 при , .

Возрастает функция на отрезках , .

Убывает функция на отрезках , .

А сейчас давайте выполним несколько заданий.

Задание первое. Найдите все корни уравнения , принадлежащие отрезку .

Решение.

Задание второе. Найдите все решения неравенства , принадлежащие отрезку .

Решение.