Зеркальная симметрия (материал для урока)

Истоки зеркальной симметрии следует искать в середине 1980-х, когда было замечено, что замкнутая струна, распространяющаяся по окружности радиуса R, физически эквивалентна замкнутой струне, распространяющейся по окружности радиуса 1/R (в некоторой системе единиц).^[20] Это явление называется T-дуальностью и тесно связано с зеркальной симметрией.^[21]

В статье 1985 года, Канделас, Горовиц, Строминджер и Виттен показали, что, компактифицируя теорию струн многообразием Калаби — Яу, можно получить теорию, похожую на стандартную модель физики частиц.^[22] Следуя этому соображению, физики начали изучать компактификации многообразий Калаби — Яу в надежде построить физику частиц, описывающую реальный мир, которая была бы следствием теории струн. 

Вафа и другие заметили, что по данной модели четырёхмерной физики частиц нельзя однозначно восстановить многообразие Калаби — Яу, с помощью которого происходила компактификация. Вместо этого есть два многообразия Калаби — Яу, которые приводят к одинаковым четырёхмерным теориям физики частиц.^[23]

Изучая соответствия между многообразиями Калаби — Яу и определёнными конформными теориями поля (моделями Гепнера), Брайан Грин и Ронен Плессер нашли нетривиальные примеры зеркального соответствия.^[24] Дальнейшее развитие этот вопрос получил несколько позже, когда Филип Канделас и два его студента проверили большое количество многообразий Калаби — Яу на компьютере и обнаружили, что каждое из них является «зеркально симметричной парой» для какого-либо другого.^[25]

Математики заинтересовались зеркальной симметрией около 1990 года, когда физики Филипп Канделас, Ксения де ла Осса, Пол Грин и Линда Паркс показали, что с её помощью можно решать не поддававшиеся десятилетиями задачи в исчислительной геометрии.^[26][27]

Эти результаты были представлены на конференции в Беркли в мае 1991-го. Во время этой конференции было замечено, что одно из чисел, полученных Канделасом при подсчёте рациональных кривых не совпало с числом, полученным норвежскими математиками Гайром Эллингсруд и Стейном Арилд Стромме, которые использовали, по-видимому, более строгие соображения.^[28]

Большинство математиков на конференции полагало, что работа Канделаса содержала ошибку, так как базировалась на математически нестрогих суждениях. Однако в скором времени Эллингсруд и Стромме нашли ошибку в своей компьютерной программе и, исправив код, получили ответ, совпавший с ответом Канделаса и соавторов последнего.^[29]

В 1990 Эдвард Виттен представил топологическую теорию струн^[15] — упрощённую версию теории струн, и физики показали, что для неё тоже есть своя зеркальная симметрия.^[30][31] В послании к Международному математическому конгрессу в 1994 Максим Концевич представил математическую гипотезу, основанную на обнаруженном на физическом языке явлении зеркальной симметрии в топологической теории струн.

Эта гипотеза известна как гипотеза гомологической зеркальной симметрии и формализует понятие зеркальной симметрии как утверждение об эквивалентности двух производных категорий:производной категории когерентных пучков на многообразии Калаби — Яу и производной категории Фукаи, строящейся по зеркально симметричному многообразию.^[32]

Также около 1995-го Концевич проанализировал работу Канделаса, которая давала общую формулу для подсчёта рациональных кривых на трёхмерной квинтике, и переформулировал эти результаты в виде строгой математической гипотезы.^[33] В 1996 Гивенталь опубликовал работу, в которой, по мнению самого Гивенталя, излагается доказательство этой гипотезы Концевича.^[34]

Поначалу большое количество математиков считали эту работу чрезвычайно непонятной, ввиду чего сомневались в её корректности. Несколько позже Лиан, Лиу и Яу в серии работ независимо опубликовали её доказательство.^[35]

Безотносительно споров о том, кто опубликовал доказательство первым, эти работы сейчас широко признаны как математическое доказательство результатов, полученных с использованием зеркальной симметрии на языке физиков.^[36] В 2000 Кентаро Хори и Кумрун Вафа представили физическое доказательство зеркальной симметрии, основанное на T-дуальности.^[14]

Весь материал - в документе.

Истоки зеркальной симметрии следует искать в середине 1980-х, когда было замечено, что замкнутая струна, распространяющаяся по окружности радиуса , физически эквивалентна замкнутой струне, распространяющейся по окружности радиуса  (в некоторой системе единиц).^[20] Это явление называется T-дуальностью и тесно связано с зеркальной симметрией.^[21] В статье 1985 года, Канделас, Горовиц, Строминджер и Виттен показали, что, компактифицируя теорию струн многообразием Калаби — Яу, можно получить теорию, похожую на стандартную модель физики частиц.^[22] Следуя этому соображению, физики начали изучать компактификации многообразий Калаби — Яу в надежде построить физику частиц, описывающую реальный мир, которая была бы следствием теории струн. Вафа и другие заметили, что по данной модели четырёхмерной физики частиц нельзя однозначно восстановить многообразие Калаби — Яу, с помощью которого происходила компактификация. Вместо этого есть два многообразия Калаби — Яу, которые приводят к одинаковым четырёхмерным теориям физики частиц.^[23]

Изучая соответствия между многообразиями Калаби — Яу и определёнными конформными теориями поля (моделями Гепнера), Брайан Грин и Ронен Плессер нашли нетривиальные примеры зеркального соответствия.^[24] Дальнейшее развитие этот вопрос получил несколько позже, когда Филип Канделас и два его студента проверили большое количество многообразий Калаби — Яу на компьютере и обнаружили, что каждое из них является «зеркально симметричной парой» для какого-либо другого.^[25]

Математики заинтересовались зеркальной симметрией около 1990 года, когда физики Филипп Канделас, Ксения де ла Осса, Пол Грин и Линда Паркс показали, что с её помощью можно решать не поддававшиеся десятилетиями задачи в исчислительной геометрии.^[26][27] Эти результаты были представлены на конференции в Беркли в мае 1991-го. Во время этой конференции было замечено, что одно из чисел, полученных Канделасом при подсчёте рациональных кривых не совпало с числом, полученным норвежскими математиками Гайром Эллингсруд и Стейном Арилд Стромме, которые использовали, по-видимому, более строгие соображения.^[28] Большинство математиков на конференции полагало, что работа Канделаса содержала ошибку, так как базировалась на математически нестрогих суждениях. Однако в скором времени Эллингсруд и Стромме нашли ошибку в своей компьютерной программе и, исправив код, получили ответ, совпавший с ответом Канделаса и соавторов последнего.^[29]

В 1990 Эдвард Виттен представил топологическую теорию струн^[15] — упрощённую версию теории струн, и физики показали, что для неё тоже есть своя зеркальная симметрия.^[30][31] В послании к Международному математическому конгрессу в 1994 Максим Концевич представил математическую гипотезу, основанную на обнаруженном на физическом языке явлении зеркальной симметрии в топологической теории струн. Эта гипотеза известна как гипотеза гомологической зеркальной симметрии и формализует понятие зеркальной симметрии как утверждение об эквивалентности двух производных категорий:производной категории когерентных пучков на многообразии Калаби — Яу и производной категории Фукаи, строящейся по зеркально симметричному многообразию.^[32]

Также около 1995-го Концевич проанализировал работу Канделаса, которая давала общую формулу для подсчёта рациональных кривых на трёхмерной квинтике, и переформулировал эти результаты в виде строгой математической гипотезы.^[33] В 1996 Гивенталь опубликовал работу, в которой, по мнению самого Гивенталя, излагается доказательство этой гипотезы Концевича.^[34] Поначалу большое количество математиков считали эту работу чрезвычайно непонятной, ввиду чего сомневались в её корректности. Несколько позже Лиан, Лиу и Яу в серии работ независимо опубликовали её доказательство.^[35]Безотносительно споров о том, кто опубликовал доказательство первым, эти работы сейчас широко признаны как математическое доказательство результатов, полученных с использованием зеркальной симметрии на языке физиков.^[36] В 2000 Кентаро Хори и Кумрун Вафа представили физическое доказательство зеркальной симметрии, основанное на T-дуальности.^[14]

В математике и теоретической физике зеркальной симметрией называется эквивалентность многообразий Калаби — Яу в следующем смысле. Два многообразия Калаби — Яу могут быть совершенно разными геометрически, но давать одинаковую физику элементарных частиц при использовании их в качестве «свёрнутых» дополнительных размерностейтеории струн. Сами такие многообразия называют зеркально симметричными.

Зеркальная симметрия была изначально обнаружена физиками. Математики заинтересовались этим явлением около 1990 года, когда Филип Канделас, Ксения де ла Осса, Пол Грин и Линда Паркс показали, что зеркальную симметрию можно использовать в качестве инструмента в исчислительной геометрии, разделе математики, занимающемся подсчётом количества ответов на те или иные геометрические вопросы. Канделас и соавторы показали, что зеркальная симметрия может быть использована для подсчёта числа рациональных кривых на многообразии Калаби — Яу, что решает долго не поддававшуюся задачу. Несмотря на то, что первоначальный подход к зеркальной симметрии базировался на идеях, сформулированных на физическом уровне строгости, математики смогли строго доказать некоторые из предсказаний, сделанные физиками.

Сейчас зеркальная симметрия является одной из наиболее мейнстримных областей исследований в области чистой математики, и математики работают над развитием математического понимания этого основанного на физической интуиции явления. Кроме того, зеркальная симметрия является основным инструментом вычислений в теории струн; также она использовалась для понимания деталей квантовой теории поля, формализма, с помощью которого физики описывают элементарные частицы. Основные подходы к зеркальной симметрии включают в себя программу гомологической зеркальной симметрии Максима Концевича и SYZ-гипотезу Строминджера, Яу и Заслоу.