Получите свидетельство
Вход
Проект
по математике
на тему:
« Загадочный лист Мёбиуса»
Подготовил студент:
Группы 2ТТД
Богачев В.В.
Руководитель:
Шмакова Е.А.
ЗАГАДОЧНЫЙ ЛИСТ МЁБИУСА
Лист Мёбиуса – символ математики,
Что служит высшей мудрости венцом…
Он полон неосознанной романтики: В нем бесконечность свернута кольцом. В нем – простота, и вместе с нею – сложность, Что недоступна даже мудрецам: Здесь на глазах преобразилась плоскость В поверхность без начала и конца.
Цель : исследовать лист Мёбиуса, его свойства, как один из объектов топологии.
Задачи :
- 1) Найти и изучить научную литературу о математической поверхности – лист Мёбиуса.
- 2) Изготовить модель, с помощью которой можно будет исследовать лист Мебиуса, его свойства.
- 3) Установить области применения листа Мёбиуса и убедиться в том, что он нашел применение во многих привычных для нас сферах жизни.
Основополагающий вопрос : где в жизни находит применение лист Мебиуса?
Гипотеза: во многих областях жизнедеятельности человека
Проблемные вопросы:
Каковы свойства листа Мебиуса?
В каких областях деятельности человек сталкивается с листом Мебиуса?
Математика постоянно живёт и развивается !
Методы исследования :
анализ литературы по проблеме исследования;
сбора эмпирических данных, наблюдение, эксперименты, обработка данных.
Изучались свойства ленты на наглядных примерах
Практическая значимость исследования состоит в том, что в результате проведенного исследования и экспериментальной работы с последующей статистической обработкой было выяснено, что лента Мёбиуса встречается в различных сферах жизнедеятельности человека и является ценным открытием не только в России, и во всем мире.
Актуальность проблемы
Тема проекта актуальна в наше время, так как именно на листе Мёбиуса можно наблюдать проявление таких свойств, как связность, односторонность, непрерывность, неориентированность, а также хроматическое число, которое равно шести.
Анкетирование
?
Современная математика замечательно описывает при помощи формул все ее свойства и особенности.
x(u,v)=(1+ ( v / 2 ) cos ( u / 2 ) )cos ( u )
y(u,v)=(1+ ( v / 2 ) cos ( u / 2 ) )sin ( u )
z(u,v)= ( v / 2 ) sin ( u / 2 ) ,
где 0⩽ u π и −1⩽ v⩽1.
Эти формулы задают ленту Мёбиуса ширины 1, чья центральная окружность имеет радиус 1, лежит в плоскости xy с центром в (0,0,0). Параметр u пробегает вдоль ленты, в то время как v задает расстояние от края.
А вот применение этой ленты в обычной жизни заставляет человека задуматься, в каких областях производства и видах деятельности она применяется.
Немецкий математик и астроном-теоретик. Родился в городе Шульпфорте, профессор Лейпцигского университета с 1816 года. Установил существование односторонних поверхностей (1858г.) одна из которых – лента Мёбиуса. Лента Мёбиуса была открыта независимо немецкими математиками Августом Фердинандом Мёбиусом и Иоганном Бенедиктом Листингом ( немецкий математик и физик ) .
В возрасте 68 лет Мёбиусу удалось сделать открытие поразительной красоты .
Что же такое Лента Мёбиуса? И в чем её особенность?
На самом деле , лента была открыта давным-давно еще в древнем мире. Одним из подтверждений служит находящаяся во Франции, в музее города Арль древнеримская мозаика с такой же перекрученной лентой. На ней нарисован Орфей, очаровывающий зверей звуками арфы. На фоне неоднократно изображен орнамент с перекрученной лентой.
Поверхность, полученная в результате сгиба и склеивания тонкой упругой достаточно длинной ленты прямоугольного сечения торцами впритык, таким образом, чтобы торцы были повернуты на 180° по отношению друг к другу.
В отличие от своей модели лист Мебиуса не имеет толщины.
Полный обход вокруг листа изменяет направление окружности на противоположное. Это говорит о том, что поверхность листа Мёбиуса
не ориентируема.
- Для подтверждения всех комбинаций и свойствах листа Мёбиуса я решил практически совершить ряд опытов с листом Мёбиуса, в которых постарался ответить на интересующие меня вопросы , и сделать определённые выводы.
- Опыт № 1 (проверка свойства — односторонность)
- В наше время мы привыкли встречаться с двусторонними предметами (объектами, фигурами). Изучив свойства ленты Мёбиуса и узнав, чтобы она односторонняя решил это проверить.
- Я прокручивал ленту и одновременно раскрашивал ее поверхность.
- Результат: Окрасилась вся поверхность ленту, хотя я ее не переворачивал. Опыт показал нам, что у петли Мёбиуса имеется всего лишь одна сторона, а не две.
Если разрезать ленту Мёбиуса, не посередине, а отступая от края приблизительно на треть её ширины, то получатся две сцепленные ленты, одна — более короткая лента Мёбиуса, и другая — длинная лента Мёбиуса с двумя полуоборотами . Разрез ленты с дополнительными оборотами дал неожиданные фигуры, они называются парадромными кольцами.
Схема изготовления ленты Мёбиуса
Опыт № 2 (проверка свойства — непрерывность).
В центре ленты Мёбиуса я нарисовал точку. Прокрутил ленту, и в это же время провел непрерывную линию от точки до того момента пока не вернулся к этой же точке.
Результаты: непрерывная линия проходит по двум сторонам, заканчиваясь в начальной точке. А это значит, что поверхность листа Мёбиуса является непрерывной.
- Опыт № 3 (что же произойдет, если разрезать лист (ленту) на 4 равные полоски по трем линиям).
- Результат: получим две ленты с двумя полуоборотами.
- Опыт № 4 (что произойдет, если разрезать лист (ленту) на 6 равных частей по 5 линиям).
- Результат: получим три ленты с двумя полуоборотами завязанные в узел).
- Опыт № 5 (что произойдет, если разрезать лист (ленту) с тремя полуоборотами)
- Результат: получится лента завитая в узел трилистника.
На основе проведенных мной опытов можно сделать следующие выводы:
1) Лента Мёбиуса имеет только один край.
2) Имеет только одну поверхность.
3) Объекты по поверхности ленты будут двигаться бесконечно.
4) Лист Мёбиуса - топологический объект. Как и любая топологическая фигура, лента Мёбиуса не меняет своих свойств, пока ее не разрезают, не разрывают.
Свойства петли Мёбиуса.
1 . Односторонность
2. Непрерывность
3. Связность или двухмерность
4. Отсутствует ориентированность
Все оптические законы основаны на свойствах ленты Мёбиуса, в частности, отражение в зеркале – это своеобразный перенос во времени. Несмотря на то, что Мёбиус сделал своё удивительное открытие давно, оно очень популярно и в наши дни: а у математиков идут дальнейшие исследования.
Еще один таинственный символ – знак бесконечности в виде “лежащей восьмерки” был найден в центре нашей галактики – Млечного пути. “Восьмерка” протяженностью в 600 световых лет состоит из плотного газа.
Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мёбиуса. Более того, такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти – спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение.
Лента Мёбиуса имеет не только развлекательное предназначение.«Американские горки», ленточный конвейер …Китайские мастера добавили еще одно "измерение" - использования , когда в сознании визуализируются и воображаются ряды специальных последовательных цифр ( особым дизайном исполнением) на фоне такой воображаемой ленте Мёбиуса. Эффект методики - саморегуляция, исцеление от болезней, развитие способностей человека, рост его духовности...
Такая практика существует и у сибирских шаманов уже много тысячелетий, т.к. Петля Мёбиус всегда над головой - северное сияние в атмосфере ночи... Осуществляют Великое путешествие шамана в Верхние и Нижние миры Мироздания...
Жидкие кристаллы являются одним из самых важных элементов современной жизни. С большим процентом вероятности, вы сейчас читаете эти строки благодаря именно жидким кристаллам, точнее их способности модулировать свет, которая используется для изготовления плоских экранов дисплеев компьютеров, планшетов, смартфонов, телевизоров и других электронных устройств.
Лента Мёбиуса с одним поворотом вызывает интересное искажение ориентации жидких кристаллов, однако ленты с тремя, четырьмя и пятью поворотами заставляют жидкие кристаллы завязаться в сложные узлы, в узел трилистника, узел Соломона и узел пятилистника соответственно.
.
Резистор Мёбиуса
Кинолента Матричный принтер
Электронный элемент, который не имеет собственной индуктивности. Это значит, что он может противостоять потоку электроэнергии , в то же время не вызывая магнитных помех
Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса.
В 1923 году выдан патент изобретателю Ли де Форсу, который предложил записывать звук на киноленте без смены катушек, сразу с двух сторон.
Кассета
Автомобиль Toyota MOB
Придуманы кассеты для магнитофона, где лента перекручивается и склеивается в кольцо, при этом появляется возможность записывать или считывать информацию сразу с двух сторон, что увеличивает ёмкость кассеты и соответственно время звучания .
Боллид Мёбиуса выполнен испанским дизайнером Хорхе Марти Видала и сочетает в себе красоту и загадку ленты Мёбиуса. Уникальная форма кузова обеспечивает гоночной машине хорошую аэродинамику
Шлифовальная лента
В 1969 году советский изобретатель Губайдуллин предложил бесконечную шлифовальную ленту в виде листа Мёбиуса.
Перспективными являются шлифовальные шкурки с двусторонним абразивным покрытием. Они могут использоваться для изготовления бесконечных лент с одной перевернутой ветвью на угол. Абразивные ленты, склеенные в лист Мебиуса , как бы вдвое длиннее обычной ленты той же длины, так как в резании участвуют обе ее стороны. Ленты с перевернутой ветвью без разгрузки их основы от сил резания имеют стойкость 35—40 мин (вместо 15 мин для-обычных).
В 1963 году Джакобс применяет в химчистке самоочищающийся фильтр , который представляет собой все ту же ленту Мебиуса и беспрерывно освобождается от впитанной грязи, «работая» при этом обеими своими сторонами.
1,2- шкифы
3- разгрузочная эластичная лента
4,5,8- ролики
6- абразивная лента
7- ремень
Эта лента отлично работает при обвязке и переноске грузов в портах, в траспортерах и эскалаторах. Полоса ленточного конвейера выполнялись в виде ленты Мёбиуса, что позволяло ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты равномерно изнашивалась.
Удивительные особенности листа Мебиуса позволили создать пружину, которая, в отличие от обычных, срабатывающих в противоположном направлении, не меняет направление срабатывания. Применяется она в стабилизаторе рулевого привода штурвала, обеспечивая возврат рулевого колеса в исходное положение.
При эксплуатации ветроколеса, в котором традиционные лопасти заменены лентой Мёбиуса, под действием ветра за счет упругости металлическая полоса самостоятельно выбирает наиболее эффективный в аэродинамическом отношении профиль.
Такая пружина могла бы стать бесценной в заводных игрушках – её нельзя перекрутить, как обычную – своего рода вечный двигатель .
Начало ленты сердечника находится в середине
магнитопровода, и при дальнейшей намотке
ложится то снаружи, то изнутри относительно
своего начала.
1. Повышение точности измерения выходного тока
Трансформаторы тока ОАО «Свердловский завод
трансформаторов тока»)
2. Повышение магнитного сопротивления на
«холостом ходу» Силовые трансформаторы РЭЛТЗ «Энергия»
(высоковольтные трансформаторы)
3. Повышение категории изделия
Сильсиновые трансформаторы тока
Мичуринский Завод «Прогресс».
4. Повышение КПД
Производитель горного оборудования
(г.Люберцы).
Лента Мёбиуса используется в кулинарии для того, чтобы создать интересный и аппетитный вид для булочек, сушек, хвороста. А также при изготовлении инструментов для приготовления и украшения различных блюд, силовых конструкций (мешалка).
В светофоре в виде ленты Мёбиуса есть отдельное большое световое табло для пешеходов и отдельное — для водителей. На каждом из них ведется обратный отсчет времени. А, кроме того, светофор служит одновременно и уличным фонарем.
Перекрученный шарф-труба, сделанный в виде ленты Мёбиуса. Для изготовления такого шарфа достаточно соединить концы обычного шарфа в кольцо, предварительно перевернув один из них на изнаночную сторону.
Обувь в виде
ленты Мебиуса
Ручной эспандер
Книжная полка Инфинити-
физическое представление
о бесконечности. Если Вы
прочитали все книги с полки, то постигли бесконечность
литературы.
Духи Bug atti
Лиза Рэй «Корабль дураков
в бесконечности».
В. Баранов-Россинэ «Зимний мотив»
Эшер "Лист Мебиуса II",
Значок механико-математического факультета Московского университета
Американским учёным удалось свернуть в форме ленты Мёбиуса одиннадцать расположенных параллельно друг другу спиралей ДНК.
Международный Символ переработки
В 1967 году в Бразилии на международном математическом конгрессе выпустили памятную марку достоинством в пять сентаво.
Лента Мёбиуса – это воплощение многих важных духовных идей, известных в сакральной геометрии ( учение о формах Пространства и закономерностях развития Вселенной в соответствии с этими формами ) .
Лист Мёбиуса в архитектуре
Памятник в Москве
Проект библиотеки в Казахстане
В Минске
Мост в стиле ленты Мёбиуса — чудо китайской архитектуры
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Работая над проектом, я пришёл к выводу, что простая полоска бумаги, но перекрученная всего лишь раз и склеенная затем в кольцо, сразу же превращается в загадочную ленту Мёбиуса и приобретает удивительные свойства. Мной была проделана работа по доказательству некоторых свойств ленты Мебиуса. Изучались свойства ленты на наглядных примерах. В результате исследования обнаружилось, что лента Мёбиуса нашла применение во многих привычных для нас сферах жизни. Проведенные мною эксперименты подтвердили гипотезы и показали, насколько важно значение ленты Мёбиуса в жизни современного человека. Я убеждён, что данная тема будет актуальна еще долгое время, и будут открываться все новые и новые факты, подтверждающие присутствие и влияние листа Мёбиуса на нашу жизнь.
- http://oksla.narod.ru/experiments.html
- https://scibook.net/resheniya-izobretatelskih-teoriya/odnostoronnie-poverhnosti-37586.html
- А.Дж.Дейч. Лист Мебиуса http://lib.ru/RAZNOE/subway.txt
- Август Мёбиус http://www.calend.ru/person/2637
- Большая советская энциклопедия. Главный редактор Б. А. Введенский. Второе издание. Сведения о листе Мёбиуса.
- Искусство и технология http://dik.academic.ru/dic.nsf/ruwiki
- Кордемский Б.А, Топологические опыты своими руками. Квант. 1974, №3, с. 73-75
- Леонова О.А. Введение в топологию «Лист Мёбиуса». 7. Статья: Трогаем бесконечность. Мебиус, Клейн и другие.
- Лэнгдон Н., Снейп Ч. «С математикой в путь» Издательство «Педагогика», 1987г., с. 42-43
- Математическая энциклопедия. Главный редактор И. М. Виноградов. Сведения о топологии и топологических объектов.
- Математическая энциклопедия. Главный редактор И. М. Виноградов. Сведения о листе Мёбиуса.
- Смесители (промышленные), Смесительное оборудование https://intech-gmbh.ru/oil_tank_mixers/
- Старохамская Ю.А. Что такое лента Мёбиуса и зачем ее надо резать.– Разработка ПО 2009. http://shkolazhizni.ru/archive/0/n-13219/
- Статья: Что такое лист Мёбиуса? http://www.genon.ru
- Статья: Элементы топологии на примере листа Мёбиуса http://sola.narod.ru/top.htm
- Статья: Преобразования Мебиуса http://www.smartvideos.ru/mebius-transfor
- Топологические парадоксы http://www.log-in.ru/articles/1360/
- Элементарная топология. О. Я. Виро, О. А. Иванов, Н. Ю. Нецветаев, В. М. Харламов
- Энциклопедия по машиностроению XXL https://mash-xxl.info/info/145149/
Спасибо за внимание!
Загадочный лист Мебиуса (11.78 MB)
0
486
19
Нравится
0
