Зачет по теме "Векторы"

Зачет по теме «Векторы»

Вариант 1

1. Сформулируйте определения вектора, его длины, коллинеарности двух ненулевых векторов, равенства векторов. Проиллюстрируйте их , используя изображение параллелепипеда.

1. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, E и F - середины ребер B₁C₁ и C₁D₁ соответственно. Запишите векторы с началом и концом в вершинах параллелепипеда, которые:

а) сонаправлены с вектором EF, б) противоположно направлены вектору AB₁, в) имеют длину, равную длине вектора A₁C₁ .

1. ABCDA₁B₁C₁D₁ -параллелепипед. Укажите вектор, равный сумме AB + B₁C₁ +DD₁ + CD.

Вариант 2

1. Расскажите о правиле треугольника сложения двух векторов, переместительном и сочетательном законах сложения векторов, правиле параллелограмма сложения двух векторов, правиле многоугольника сложения нескольких векторов. Проиллюстрируйте их на рисунках.

1. В прямом параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ точки K и M - середины ребер AD и DD₁ соответственно. Запишите векторы с началом и концом в вершинах параллелепипеда, которые:

1. противоположно направлены вектору KM, б) сонаправлены с вектором DC, в) имеют длину, равную длине вектора A₁B.

1. ABCDA₁B₁C₁D₁ - параллелепипед. Укажите вектор, равный сумме BC + C₁D₁ + A₁A + DB₁.

Вариант 3

1. Сформулируйте правило вычитания векторов, определение произведения вектора а на число к, сочетательный, первый и второй распределительные законы умножения вектора на число. Проиллюстрируйте их на рисунках.

2.Дан тетраэдр ABCD. Докажите, что: а) AB + BD = AC + CD, б) AB + BC = DC + AD. в) DC + BD = AC + BA.

3.В треугольнике ABC точки E и F - середины сторон AB и BC соответственно. Точка М не лежит в плоскости треугольника ABC. Выразите CA через разность векторов MF и ME.

Вариант 4.

1. Сформулируйте определение компланарных векторов. Сформулируйте утверждение, выражающее признак компланарности трех векторов. Сформулируйте правило параллелепипеда для сложения трех некомпланарных векторов, покажите на рисунке. Приведите примеры компланарных и некомпланарных векторов, используя изображение параллелепипеда.

2. Докажите, что векторы -DE +DF - KF и MC - MK - EC противоположны.

3. ABCDA₁B₁C₁D₁ - прямоугольный параллелепипед. Укажите вектор, равный сумме B₁C₁ + AB + DD₁ + CB₁ + BC + A₁A.