Внеурочное занятие "Математика в музыке и вокруг нас"

Математика в музыке

Цели занятия:

• расширить знания студентов;

• развивать познавательный интерес, интеллект;

• воспитывать стремление к непрерывному совершенствованию своих знаний;

• показать необходимость знаний по математике в различных областях;

• показать, что математика - уникальное средство познания красоты;

• показать связь математики с музыкой.

План занятия:

1. Вступительное слова преподавателя;

2. Рассказ преподавателя: “Математика в музыке”

3. Сообщение студента

4. Занимательная часть

5. Подведение итогов

Оборудование:

1. Проектор

2. Презентация № 1

3. Презентация № 2

1. Вступительное слово преподавателя.

«Музыка есть таинственная арифметика души;
Она вычисляет, сама того не подозревая»
Г.Лейбниц.

Математика – это не только стройная система законов, теорем, задач, но и уникальное средство познания красоты. А красота многогранна и многолика. Она выражает высшую целесообразность устройства мира, подтверждает универсальность математических закономерностей, которые действуют одинаково эффективно в кристаллах и в живых организмах, в атомах и во Вселенной, в произведениях искусства и научных открытиях.

Красота помогает с радостью воспринимать окружающий мир, математика даёт возможность осознать явления и упрочить знания о гармонии всего мира.

Изучая математику, мы открываем всё новые и новые слагаемые красоты, приближаясь к пониманию, а затем и к созданию красоты и гармонии.

Когда раскрывается эффективность применения математических методов в различных областях науки, культуры, искусства, не ущемляется роль математики, не подменяется другими предметами, а, наоборот, повышается интерес к предмету, выявляется высокое значение математики, процесс познания её делается увлекательным.

Слайд 1 Математика в музыке

Слайд 2

А знаете ли вы,
Что музыка, приятная на слух
Законам математики подвластна
Лечит, оздоравливает дух.
Как математика в музыку вошла,
Какими законами правит там она,
Кто первым математику и музыку соединил,
Кто на практике теорию музыки подтвердил.
Узнать вы можете сейчас ,
и с этой информацией мы познакомим вас.

Слайд 3 Содержание

Чтобы понять значение математики в музыке мы рассмотрим следующие вопросы.

• 1. Школа мудрости

• 2. Основы звука

• 3. Уравнение колебания струны

• 4. Музыкальные интерпретации

• 5. Биологические основы звука

• 6. Построение музыкального произведения и математика

• 7. Азы нотной грамоты и математика

• 8. Музыка и информатика

• 9. Высказывания знаменитостей

Слайд 4

Величайшие математики и музыка

Исследованию музыки посвящали свои работы многие величайшие математики:

• Рене Декарт(1),

• Готфрид Лейбниц(2),

• Жан д'Аламбер(3),

• Леонард Эйлер(4),

• Даниил Бернулли(5).

Первым, кто попытался выразить красоту музыки с помощью чисел, был Пифагор.

Слайд 5

Школа мудрости

Началось все еще в древности, когда не было разделения на гуманитарные и естественные науки. Наука рассматривалась как одно целое. Древнегреческий ученый Пифагор и его последователи занимались изучением так называемого квадривиума (системы точных наук), в который входили арифметика, геометрия, астрономия и гармония (учение о музыке). Главной считалась арифметика – наука о числах. Именно она лежала в основе и геометрии, и астрономии, и гармонии.

Каждая дисциплина исследовала число в разных аспектах: математика- число само по себе, геометрия- число в пространстве, музыка- число во времени, а астрономия- число в пространстве и времени.

Именно числа, по мнению Пифагора, управляют гармониями в музыке. Он утвердил музыку как точную науку.

Слайд 6

Пифагор и его соратники открыли математические отношения, которые лежат в основе музыкальных интервалов и создали музыкальный строй, оказавший сильнейшее влияние на развитие европейской музыки. Строй этот так и назывался «пифагоров строй», и создавался он в начале опытным путем, а потом с помощью математических расчетов.

Слайд 7

Пифагор создал свою школу мудрости, положив в ее основу два искусства - музыку и математику. Он считал, что гармония чисел сродни гармонии звуков и что оба этих занятия упорядочивают хаотичность мышления и дополняют друг друга.

Слайд 8 Основы звука

Звук - есть воспринимаемые человеческим слухом колебания воздуха. В окружающей нас природе существует огромное количество самых разнообразных звуков, которые распадаются на две группы: звуки с определенной высотой (так называемые музыкальные звуки) и с неопределенной высотой (шумы).

Слайд 9

Музыкальные звуки имеют ту особенность, что им присуща вполне определенная частота колебаний.

Частота звука, воспринимаемого человеком, заключена приблизительно в интервале от 16 до 16000 Гц. В музыке используется диапазон от 16 до примерно 5000 Гц.

Слайд 10

Первые музыкальные инструменты

Как вы думаете, какие музыкальные инструменты были первыми?

Ученые предполагают, что первыми музыкальными инструментами были ударные и духовые (типа флейт и рожков). Со временем появились струнные музыкальные инструменты, на которых можно было извлекать звуки разной высоты.

Слайд 11

Уравнение колебания струны

Колебания струны изучали ещё пифагорейцы. Они были уверены, что музыку можно подвергнуть математическому анализу. По легенде, проходя мимо кузницы, Пифагор заметил, что удары молотов по наковальне образуют гармонию и приятны на слух и лишь один выбивается из общего звучания. С помощью ряда экспериментов и монохорда, представляющего из себя единственную струну, закрепленную в двух точках над резонатором, Пифагор обнаружил удивительные вещи. Выяснилось, что приятные слуху созвучия - консонансы, получаются лишь в том случае, когда длины струн, издающих эти звуки, соотносятся как целые числа первой четверки, т.е. 1:2, 2:3, 3:4. Это открытие потрясло Пифагора: оказалось, что звук и созвучие могут быть описаны простыми числами.

Слайд 12

Золотое сечение

Уже в Древней Греции знали такое понятие как золотое сечение - это такое деление целого АВ на две неравные части, при котором большая часть AC так относится к целому AB, как меньшая BC к большей AC.

Слайд 13

Интересно отметить, что золотое сечение или «божественное деление» обнаруживается и в музыке. Композиция многих музыкальных произведений содержит высшую точку - кульминацию. И размещается эта кульминация чаще не в середине произведения, она смещена, и находится как раз в точке золотого сечения.

Слайд 14

Значительно позже, в XVIII веке, после работ Ньютона и Лейбница в области физики и дифференциального исчисления, было выведено уравнение колебания струны - так называемое волновое уравнение, породившее новую область в науке - математическую физику.

Слайд 15

Музыкальные интерпретации

Музыкальные звуки состоят из суммы гармонических колебаний.

Любой музыкальный звук имеет четыре основных свойства, которые мы воспринимаем как проявления тех или иных качеств (характеристики) звука:

1) высота,

2) громкость,

3) тембр,

4) длительность.

Все эти свойства легко объясняются с точки зрения математики.

Слайд 16

Звуки, не имеющие основной частоты вовсе (и не описывающиеся волновым уравнением) мы называем шумами и не будем их рассматривать вовсе.

Слайд 17

Высота

Высота звука зависит от частоты колебаний, совершаемых источником звука за единицу времени. Чем больше частота колебаний, тем выше звук.

Слайд 18

Громкость

Громкость звука зависит от амплитуды (максимального значения изменяющейся величины): чем больше амплитуда, тем громче звук.

Слайд 19

Тембр

Мы говорили, что звуки состоят из суммы гармонических колебаний. Реальный звук струны состоит из звука основной частоты, а также обертонов. Так вот тембр зависит от сочетания этих отдельных звуков - обертонов.

Слайд 20

Тембр

Сочетание обертонов даёт музыкальную окраску звуку - его тембр. Тембр позволяет нам отличать звуки одних источников от звуков других.

Слайд 21

Важно отметить, что лишь меньшинство людей обладают абсолютным слухом, т.е. способны различать звуки по их частоте. Большинство же способны различать лишь интервалы между звуками, т.е. обладают относительным слухом.

Слайд 22

Построение музыкального произведения имеет свою логику и числовые характеристики. Соотношение частей музыкального произведения образуют музыкальную форму, т.е. структуру, скелет музыкального произведения. Составные элементы музыкальных форм – мотивы, фразы, предложения, периоды. Их тоже можно выразить математически, т.е. при помощи чисел.

Изучив определенные законы построения музыкального произведения, можно научиться сочинять музыку – по формуле, точно также как и формально сочинять стихи. (Правда, нет гарантии, что эти произведения будут представлять из себя какую-либо художественную ценность). И хотя композиторами становятся далеко не все студенты музыкальных отделений, тем не менее на занятиях по музыкальной гармонии фуги сочиняют все.

Слайд 23

Азы нотной грамоты и математика.

Что же касается нотной записи, то здесь без математических знаний не обойтись! То, с чего собственно и начинается музыка, один из основных элементов выразительности мелодии (наряду с различной высотой, интервальными соотношениями звуков, составляющих мелодию) – это ритм. Мелодия образуется только в том случае, если звуки организованы ритмически, т.е. определяются определенными длительностями. Чередование звуков вне ритма не воспринимается как мелодия; ритм же подчас настолько ярко характеризует мелодию, что ее можно узнать только по обозначению длительностей звуков без указания их высоты.

Основные ритмические измерения, применяемые в музыке - это относительные длительности: целая нота, половинная, четвертная, восьмая, шестнадцатая, тридцать вторая.

Слайд 24 Музыка и информатика

На протяжении многих веков судьбы математики и музыки переплетались, а на сегодняшний день музыка уже даже имеет связь с информатикой. Теперь можно не только слушать "неживую" музыку с диска, но и самому сочинять музыку с помощью программ в интернете. Компьютеры могут оформлять, создавать и даже придумывать музыку, добавлять голоса к основной мелодии и многое другое. Но никому пока не удалось найти алгоритм, порождающий простую и красивую мелодию.

Слайд 25

Математика и музыка - два полюса человеческой культуры, две системы мышления тесно связанные между собой.

Решая задачи, мы погружаемся в строгое пространство чисел, а слушая музыку, мы погружаемся в различное пространство звуков. И мы не задумываемся о том, что мир звуков и пространство чисел очень давно связаны друг с другом. Не смотря на то, что математика - самая абстрактная и в то же время не самая лёгкая из наук, а музыка - наиболее отвлечённый вид искусства, однако связь математики и музыки обусловлена, как исторически, так и внутренне.

Слайд 26

«Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и противоречиях, я пришёл к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека и что между ними размещается всё, что человечество создало в области науки и искусства» (Генрих Нейгауз – советский пианист и педагог).

Вывод:

Математика является ключом к тайнам мировоззрения. Использование    математической теории музыки позволяет создавать особую музыку, которая сдерживает и исцеляет болезни, обращает и приводит душевные страсти в спокойное состояние.

Сравнивая музыку и математику, мы делаем вывод, что математика, как наука, может развиваться без музыки. А музыка как искусство подчиняется многим законам математики.

А какие выводы сделали бы вы, сравнивая математику и музыку?

- Математика нужна музыке для того, чтобы музыка звучала приятно.

- Математика нужна для гармонии в музыке.

- Математика приводит музыку в порядок, делает ее приятной для слуха.

- Математические законы  делают музыку лечебной.

3. Сообщение студентов.

М узыковед Э.Розенов, проанализировав наиболее популярные и любимые произведения гениальных композиторов И.С.Баха, В.А.Моцарта, Л.В.Бетховена, Ф.Шопена, Р.Вагнера, М.И.Глинки, а также произведения народного творчества древнего происхождения, заметил, что моменты наиболее ярко выраженного эмоционального напряжения приходятся именно на точки золотого сечения. Человек в своей деятельности постоянно сталкивается с предметами, использующими в своей основе золотое сечение. Есть вещи, которые нельзя объяснить. Вот вы подходите к пустой скамейке и садитесь на нее. Где вы сядете - посередине? Или, может быть, с самого края? Нет, скорее всего, не то и не другое. Вы сядете так, что отношение одной части скамейки к другой, относительно вашего тела, будет равно примерно 1,62. Простая вещь, абсолютно инстинктивная... Садясь на скамейку, вы произвели "золотое сечение". О золотом сечении знали еще в древнем Египте и Вавилоне, в Индии и Китае. Великий Пифагор создал тайную школу, где изучалась мистическая суть "золотого сечения". Евклид применил его, создавая свою геометрию, а Фидий - свои бессмертные скульптуры. Платон рассказывал, что Вселенная устроена согласно "золотому сечению". А Аристотель нашел соответствие "золотого сечения" этическому закону. Высшую гармонию "золотого сечения" будут проповедовать Леонардо да Винчи и Микеланджело, ведь красота и "золотое сечение" - это одно и то же. А христианские мистики будут рисовать на стенах своих монастырей пентаграммы "золотого сечения", спасаясь от Дьявола. При этом ученые - от Пачоли до Эйнштейна - будут искать, но так и не найдут его точного значения. Бесконечный ряд после запятой - 1,6180339887... Искусствоведы составили подробные схемы, в которых содержится геометрический анализ великой музыки. Наиболее удачным в этом отношении примером является Хроматическая фантазия и Фуга ре минор И.С.Баха. Слушая это замечательное произведение, не только восторгаешься красотой музыки, но и чувствуешь ее скрытую музыкальную гармонию. А математика открывает еще одну грань гениальности великого композитора.

Этот рассказ о связи математики и музыки далеко не полный. В истории культуры достаточно много примеров, когда люди придумывали механические устройства для сочинения музыки. Это происходило и в средние века, и в наше время.

Монохорд Пифагора
Первым музыкальным инструментом Пифагора был монохорд. Инструмент под названием монохорд в переводе означает «однострун». Монохорд – один из первых шагов на пути к рождению фортепиано. Ему было суждено сыграть в истории музыки огромную роль. Именно он является предком нынешнего фортепиано.

Сначала к его единственной струне добавили еще одну, а затем стали натягивать все большее число струн. Позднее играли на нескольких струнах. Появился инструмент цилибалы, на Руси – гусли. В средние века (XIV в.) знали и пользовались органом. Вот и пришла к кому-то в голову замечательная мысль: приспособить клавиатуру к многострунному монохорду.

Так появились клавикорд, клавесин, а затем фортепиано.

Известно, что и компьютеры сочиняют музыку. Правда, она довольно посредственна. В ней нет игры и свободного дыхания, которые трудно укладываются в математические каноны. До сих пор никому не удавалось найти алгоритм, порождающий простую и красивую мелодию. Мы просто не знаем, какое волшебство происходит в голове композитора, создающего неповторимую мелодию. Гениальное произведение - это результат вдохновения и мастерства его создателя. А еще своеобразная тайна, постичь которую порой невозможно. Решая задачи и слушая великую музыку, мы открываем в ней совершенство, простоту, гармонию и еще нечто такое, что неподвластно выражению словом.

4. Занимательная часть. Группы 1 А и 2 Д составляют две команды.

А теперь поговорим о связи математики с другими предметами. (презентация 2)

1 тур. Математика и литература.

Это интересно. Математика и литература не так далеки друг от друга, как многие думают. Искусство и наука требуют фантазии, творческой смелости, зоркости в наблюдении различных явлений жизни. Служение математике С.В.Ковалевская представляла себе неотрывным от служения литературе.

"Мне кажется, - говорила она, - что поэт должен видеть то, чего не видят другие, видеть глубже других. И это должен математик".

Для многих казалось странным, как она сочетает математику с поэзией. По этому поводу Ковалевская писала: "Многие, которым никогда не представлялось случая более глубоко узнать математику, считают её наукой сухой. В сущности же это наука, требующая наиболее фантазии, и один из первых математиков нашего времени говорит совершенно верно, что нельзя быть математиком, не будучи в то же время и поэтом в душе".

Великий русский поэт М.Ю.Лермонтов был большим любителем математики и в своих вольных и невольных переездах из одного места службы в другое всегда возил с собою учебник математики.

А теперь посмотрим, как вы сочетаете в себе знания математики литературы..

1. Какой русский писатель окончил физико-математический факультет? (А.С. Грибоедов)

2. В сказке "Конек-горбунок" мы встречаем следующие слова: "Приезжаю - тьма народу! Ну ни выходу, ни входу!". Сколько было народа? (10 000)

3. Название какой кривой является в то же время литературным термином? (гипербола)

4. Кто из великих русских писателей составлял задачи по арифметике? (Л.Н. Толстой)

5. "В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии". Кто произнес эти слова, даже не любя математику? (А.С. Пушкин)

2 тур. Математика и русский язык.

Это интересно. Викто́р Мари́ Гюго́ — французский писатель... заметил, что разум человеческий владеет тремя ключами, позволяющими людям знать, думать и мечтать. Ключи эти следующие - буква, нота и цифра.

1. Переведите на русский язык греческие слова - моно, ди, поли и латинские - уни, би, мульти (один, два, много)

2. Какая цифра в переводе с латинского означает " никакая"? (0)

3. Скажите по-гречески окружность, если для нас это часть страны, области, города, отдаленная от центра. (периферия)

4. У греков это натянутая тетива, а у нас? (гипотенуза)

5. Какая математическая единица измерения в переводе с латинского обозначает "ступень, шаг, степень" ? (градус)

6. Какой геометрический термин образовался от латинского слова "отвесный"? (перпендикуляр)

7. Что есть у каждого слова, растения и уравнения? (Корень).

2. Какие прилагательные русского языка в математике становятся именами существительными ? (прямая, кривая, ломаная, касательная, секущая, наклонная)

3. Какая цифра в русском языке является глаголом повелительного наклонения единственного числа? (три!)

4. С буквой "и" - это глагол русского языка настоящего времени, являющийся синонимом глагола "движет". С буквой "е" - это существительное, обозначающее сторону треугольника. (катит-катет)

3 тур. Математика и музыка.

Сегодня мы с вами узнали о связи математики с музыкой, о том, что древнегреческий математик Пифагор относил к математике арифметику, геометрию, астрономию и музыку. Именно Пифагор ввёл понятие “ гамма” А теперь вопросы студентам.

1. Без чего не могут обойтись охотники, барабанщики и математики? (Без дроби).

2. Люди какой профессии постоянно смотрят на 5 параллельных линий ? (музыканты или дирижеры)

Третье совпадение – наличие в музыке и математике противоположностей.

4 тур. Математика и история.

1. Петр Первый хорошо знал адицию, субстракцию, мультипликацию и дивизию. В его времена эти действия знали далеко не все, и Петр настойчиво заставлял изучать это своих сподвижников. Сейчас это знает каждый школьник. Как он это называет? ( + - * /)

2. Что на Руси раньше называли " ломаными числами" (дроби)?

3. Сколько подвигов совершил Геракл? (12)

4. О какой науке Цицерон сказал: " Греки изучали её, чтобы познать мир, а римляне - для того, чтобы измерять земельные участки" ( геометрия)

5. Летописец сообщает, что строительство Успенского Собора в Кремле велось "в кружало и а правило". К помощи каких инструментов прибегли мастера? ( циркуль и линейка)

6. Почему в Египте строители пирамид использовали веревку с 12 узелками? (получался прямоугольный треугольник со сторонами 3,4,5)

7. Кто из учёных участвовал в атлетических состязаниях и на олимпийских играх был дважды увенчан лавровым венком за победу в кулачном бою? (Пифагор)

8. Кто из знаменитых людей является автором учебника для детей под названием «Арифметика»?

(Л.Н. Толстой)

9. С кем из этих знаменитых людей произошёл следующий случай…

«… На его камзоле протерлись локти. Повстречавший его придворный щёголь ехидно заметил по этому поводу: – Учёность выглядывает оттуда …

— Нисколько, сударь, – немедленно ответил он, – глупость заглядывает туда!»

(М.В. Ломоносов)

10. Его теорема самая известная и наиболее применяемая при решении задач. (Пифагор)

11. Прямоугольная система координат связана с именем этого ученого. (Декарт)

5 тур. Математика и иностранный язык.

Это интересно. Произведение одного среднеазиатского астронома и математика (787-850) называлось "Китаб мухтасар аль джебр ва-л-мукабала". Переводчик перевел все слова, слово "аль джебр" просто записал латинскими буквами. У него получилось слово - алгебра. Многие понятия и математические термины имеют иностранное происхождение.

1. Переведите на русский язык греческие слова - моно, ди, поли и латинские - уни, би, мульти (один, два, много)

2. Какая цифра в переводе с латинского означает " никакая"? (0)

3. Скажите по-гречески окружность, если для нас это часть страны, области, города, отдаленная от центра. (периферия)

4. У греков это натянутая тетива, а у нас? (гипотенуза)

5. Какая математическая единица измерения в переводе с латинского обозначает "ступень, шаг, степень" ? (градус)

6. Какой геометрический термин образовался от латинского слова "отвесный"? (перпендикуляр)

Заключительный тур. Найди правильный ответ.

5. Подведение итогов мероприятия.