Виды матриц и их свойства

Тема 1 . «Матрицы и действия над ними»

Основные понятия:

• Определение матрицы
• Виды матриц
• Действия над матрицами

1. Определение матрицы

Прямоугольная таблица чисел вида

называется матрицей .

- элементы матрицы.

Размер матрицы

Главная диагональ матрицы

Побочная диагональ матрицы

2. Виды матриц

• Прямоугольная
• Квадратная
• Нулевая
• Единичная
• Диагональная
• Симметричная
• Вырожденная
• Равные
• Треугольная
• Квазитреугольная (ступенчатая или трапециевидная)
• Матрица-строка или строчная матрица
• Матрица-столбец или столбцевая матриц

Матрица называется прямоугольн ой , если количество ее строк не совпадает с количеством столбцов :

Матрица называется квадратной , если количество ее строк совпадает с количеством столбцов :

Матрица называется нулевой , если все ее элементы нулевые :

Квадратная матрица называется единичной , если элементы по главной диагонали единицы, а остальные элементы нулевые :

Квадратная матрица называется диагональной , если элементы по главной диагонали отличны от нуля, а остальные элементы нулевые :

Квадратная матрица называется симметричной , если относительно главной диагонали для всех ее элементов выполняется условие :

Квадратная матрица называется вырожденной , если ее определитель равен нулю.

Матрицы А и В (одинаковых размерностей) называются равными , если :

Квадратные матрицы вида

или

называются треугольными .

Прямоугольная матрица вида

называется квазитреугольной (ступенчатая или трапециевидная)

Матрица, состоящая из одной строки называется матрицей-строкой или строчной матрицей .

Матрица, состоящая из одного столбца называется матрицей-столбцом или столбцевой матрицей

Операции над матрицами

Линейные :

• Сумма (разность) матриц;
• Произведение матрицы на число.

Нелинейные :

1) Транспонирование матрицы;

2) Умножение матриц;

3) Нахождение обратной матрицы.

Суммой (разностью) двух матриц одинаковой размерности называется матрица, элементы которой равны сумме (разности) соответствующих элементов матриц слагаемых.

Например :

Пример

Пример

Ответ

Произведением матрицы на число называется матрица, полученная из данной умножением всех ее элементов на число.

Например :

Пример

Линейные операции обладают следующими свойствами :

Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей, т ранспонированной относительно данной.

Например :

Свойства

Умножение матриц определяется для согласованных матриц.

Произведением матрицы на матрицу называется матрица , для которой ,

т.е. каждый элемент матрицы С равен сумме произведений элементов i -й строки матрицы А на соответствующие элементы j -го столбца матрицы В.