Урок в 9 классе по теме: «Преобразование графиков: симметрия относительно осей координат»

Урок в 9 классе по теме: «Преобразование графиков: симметрия относительно осей координат»

Учитель: Шарова С. Г., МБОУ «Гимназия» городского округа г. Урюпинск Волгоградской области

Тип урока: открытие нового знания.

Основные цели:

Метапредметные:

1. Тренировать умение фиксировать свое затруднение, выявлять причину его возникновения.

2. Тренировать умение ставить цель своей деятельности и планировать работу по реализации поставленной цели.

3. Тренировать умение работать в парах и группах.

Предметные:

1. Сформировать умение выполнять следующие преобразования графиков: симметрия относительно осей координат.

2. Сформировать умение применять данные преобразования графиков для построения графиков функций вида: y = f(–x), y = –f(x), y = –f(–x) из графика y = f(x).

3. Закрепить умение решать уравнения, содержащие знак модуля.

Ход урока

1. Мотивация к учебной деятельности

- Здравствуйте, ребята! Сегодня мы продолжим знакомство с преобразованиями графиков функций, которые позволяют строить графики более сложных функций оптимально.

- Как вы понимаете высказывание американского педагога Дайан Силверс Рейвич: «Человек, который знает «как», всегда найдёт работу, а человек, который знает «почему», будет его начальником». (слайд 2)

Возможный ответ: Перед человеком, задумывающимся о причинах тех или иных явлений, способов действий, открывается больше возможностей. Он может сделать или организовать что-то более продуктивно, более эффективно.

- Ребята, я вам желаю интересной работы на уроке: уверена, вы сегодня найдете интересные способы для достижения цели и будете пользоваться ими в дальнейшем осознанно.

- Подготовку к открытию нового начнем с проверки домашнего задания. Сейчас каждой группе будет предложен подробный образец выполнения задания из домашней работы. Организатор группы фиксирует все затруднения, возникшие у членов группы. В группах вы выявляете причины возникших затруднений.

- Не забудьте! При проверке домашнего задания вам нужно составить список эталонов, которыми пользовались при выполнении заданий.

2. Самостоятельная деятельность и организация учебного затруднения.

(Идет работа в группах)

Домашнее задание.

Задание №1.

a). Построить график функции.

Решение. Для того чтобы построить график данной функции, необходимо преобразовать правую часть, воспользовавшись формулой .

Получим . Сдвинем график вдоль оси абсцисс на 1 единицу влево.

0

-1

b) Построить график функции

Решение. Для того чтобы построить график данной функции необходимо преобразовать правую часть, выделив куб суммы. Получим .

.

Сдвиг по оси абсцисс влево на 1 единицу и вниз по оси ординат на 4 единицы.

0

в) Построить график функции .

Решение. Для того чтобы построить график данной функции необходимо преобразовать правую часть, выделив куб разности:

.

.

Сдвиг по оси абсцисс вправо на 5 единиц и вверх по оси ординат на 2 единичных отрезка.

0

Задание №2.

1. Построить график функции .

2. Построить график функции .

Решение.

1. Для того чтобы построить график функции , необходимо выполнить сдвиг вспомогательного графика функции вдоль оси OY вверх на 3 единицы.

2. Для того чтобы построить график функции , необходимо выполнить сдвиг вспомогательного графика функции вдоль оси OX влево на 1 единицу, вдоль оси OY вверх на 3 единицы.

а)

б)

5

-1

0

Задание №3.

1. Построить график функции .

2. Построить график функции .

Решение.

1. Чтобы построить график , увеличим ординаты вспомогательного графика в 2 раза (k1), не меняя область определения ),то есть растянем график от оси OX в 2 раза.

1. Чтобы построить график , уменьшим абсциссы вспомогательного графика в четыре раза (k1), не меняя область значения функции ), то есть сожмем график к оси OY в 4 раза.

После проверки домашнего задания в группах.

Возможные ответы учащихся.

При выполнении заданий повторяли:

• приемы построения графиков функций с помощью сдвигов вдоль осей координат.

• Приемы построения графиков функций с помощью сжатия или растяжения вдоль осей координат.

-Задание на пробное действие.

- Ребята, при выполнении задания №3 вы работали с графиком функции .

- Как вы строили график данной функции?

Составили таблицу значений функции

4

1

0

Теперь я предлагаю вам следующее задание:

Постройте графики функций:

1. ; б) ; в) , преобразовав график .

Учащиеся самостоятельно пытаются построить графики заданных функций. Время на выполнение заданий ограничено.

- Обсудите в группах, какие затруднения могут быть?

Одна из групп отвечает, остальные уточняют, дополняют.

Возможные варианты ответов:

1. Я не могу построить график данной функции.

2. Я не могу объяснить, что мой ответ верный.

3. Я не могу проанализировать, как изменится область определения и множество значений функций

4. и т. д.

3.Выявление места и причины затруднения.

-Посовещавшись в группах в течение 30 секунд, ответьте на вопрос:

Почему возникло затруднение?

Одна из групп отвечает, остальные уточняют, дополняют.

Возможные варианты ответов:

– Необходимо было построить графики функций, содержащие знак корня, применяя преобразования. Затруднение возникло в определении преобразований. Причина в том, что мы не знаем пока, какое преобразование можно применить в тех случаях, когда функция содержит знак минус перед данной функцией, знак минус перед аргументом данной функции и знак минус одновременно перед данной функцией и перед ее аргументом.

4. Построение проекта выхода из затруднения.

- Посовещавшись в группах в течение 30 секунд:

1) сформулируйте цель дальнейшей деятельности;

2) сформулируйте тему урока.

Одна из групп озвучивает результат обсуждения, остальные уточняют, дополняют при необходимости.

Возможный вариант ответа:

Цель: Узнать, какие преобразования графика функции у = f(x) необходимо выполнить, чтобы получить графики функций у = –f(x), у = f(–x), у = –f(–x).

Тема урока: «Преобразования графиков функций».

– Составьте в группах план ваших действий.

Учащиеся работают в группах, составляют план действий.

Возможный вариант ответа:

• Выполнить задания, предложенные учителем,

• Проанализировать результаты.

• Сформулировать правило.

• Сравнить его с эталоном.

5.Реализация построенного проекта

- Итак, вернемся к заданию

Постройте графики функций:

а); б) ; в) , используя таблицу значений функции, и пронаблюдайте, как расположены построенные графики по отношению к графику относительно осей координат, начала отсчета. Обобщите сделанные вами наблюдения и составьте правила построения таких функций. Сопоставьте свои выводы с выводами на слайдах.

Возможный вариант ответа:

а)

0

;

б)

0

в)

0

а) Преобразование y = f(x)  y= –f(x) изменяет все ординаты точек графика на противоположные при фиксированных значениях абсцисс. Область определения функции D (f) = [0; +∞), а область значений E(f) = (–∞; 0].

Значит, график функции у = – f(x) можно получить из графика у = f(x) с помощью осевой симметрии относительно оси абсцисс.

Б) Преобразование y = f(x)  y= f(–x) изменяет все абсциссы точек графика на противоположные при фиксированных значениях ординат. То есть область определения функции D (f) = (–∞; 0], а область значений E (f) = [0; +∞).

Значит, график функции у = f(–x) можно получить из графика у = f(x) с помощью осевой симметрии относительно оси ординат.

В) Последовательное применение рассмотренных выше двух преобразований:

y = f(x)  y = – f (–x) меняет абсциссы и ординаты точек графика на противоположные. Область определения функции D (f) = (–∞; 0], а область значений E(f) = (–∞; 0].

Значит, график функции у = – f(–x) можно получить из графика у = f(x) с помощью центральной симметрии относительно начала координат.

Учащиеся сравнивают свои правила с эталоном на слайде:

Случаи преобразования графика функции

1. Симметрия относительно оси абсцисс

График функции у = – f(x) можно получить из графика у = f(x) с помощью осевой симметрии относительно оси абсцисс.

1. Симметрия относительно оси ординат

График функции у = f(–x) можно получить из графика у = f(x) с помощью осевой симметрии относительно оси ординат.

1. Симметрия относительно начала координат

График функции у = – f(–x) можно получить из графика у = f(x) с помощью центральной симметрии относительно начала координат

Случаи преобразования графика функции

1. Симметрия относительно оси абсцисс

График функции у = – f(x) можно получить из графика у = f(x) с помощью осевой симметрии относительно оси абсцисс.

1. Симметрия относительно оси ординат

График функции у = f(–x) можно получить из графика у = f(x) с помощью осевой симметрии относительно оси ординат.

1. Симметрия относительно начала координат

График функции у = – f(–x) можно получить из графика у = f(x) с помощью центральной симметрии относительно начала координат

– Удалось преодолеть затруднение?

− Что теперь необходимо сделать?

6. Первичное закрепление во внешней речи

- Выполните задание: постройте график функции у = f(–x), если f(x) =.

Работа выполняется фронтально.

Решение:

Для того чтобы построить график функции , можно преобразовать правую часть, выделив квадрат двучлена:

.

Для построения графика функции у = f(–x) необходимо построить график f(x) = и применить к нему следующее преобразование: симметрию относительно оси ординат: у = f(–x) =.

-Выполните задание:

Постройте графики функций у = – f(x), у = – f(–x), если

Задание выполняется в парах, по вариантам. Проверка осуществляется по пробному образцу.

Пробный образец.

Для построения графиков функций у = – f(x), у = – f(–x) необходимо построить график и применить к нему следующие преобразования:

Симметрию относительно оси абсцисс: у = – f(x) =;

Симметрию относительно начала координат: у = – f(–x) =

Y

– f(–x) =

– f(x) =

x

После самопроверки проводится рефлексия: выясняется, есть ли ошибки, если есть, то проговаривается, как надо было выполнить задание.

7.Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону

- Мы шли с вами по плану, предложенному вами:

• Выполнить задания, предложенные учителем,

• Проанализировать результаты.

• Сформулировать правило.

• Сравнить его с эталоном.

-Что дальше необходимо сделать?

- С какой целью будете выполнять самостоятельную работу?

Возможный вариант ответа:

Понять полностью ли разобрались в новой теме, нет ли затруднений.

Для самостоятельной работы учащимся предлагается задание:

Постройте графики функций у = –f(x), у = f(–x), у = –f(–x), если f(x)=

Учащиеся выполняют самостоятельную работу и проводят самопроверку по эталону для самопроверки.

Подробный образец.

f (x)= . Для построения графиков функций у = –f(x), у = f(–x), у = –f(–x) необходимо построить f (x) = и применить к нему следующие преобразования:

1. симметрию относительно оси абсцисс: у = –f(x) =;

2. симметрию относительно оси ординат: у = f(–x) = ;

3. симметрию относительно начала координат: у = –f(–x) =.

–f(–x) =

f (–x) =

–f(x) =

f (x) =

X

Y

• Проанализируйте в группах результаты выполнения самостоятельной работы.

• Назовите, в каких местах и почему возникли затруднения.

Организаторы групп озвучивают результаты анализа работ.

8. Включение в систему знаний и повторение.

Решите уравнения:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

Решение.

1. Не имеет решения, так как по определению .

2. Уравнение не имеет решения, так как левая часть равенства по определению модуля числа неотрицательна, а правая – по условию и определению модуля неположительна. При выражение .

5. =2⇔⇔⇔.

9. Рефлексия деятельности на уроке

- Ребята, что необходимо сделать в конце урока?

Возможный вариант ответа:

Проанализировать свою работу.

Группы работают с карточкой.

1. Определить новые знания, которые открыты на уроке.

2. Сформулируйте цель, которая стояла перед вами.

3. Определите, достигнута ли цель.

4. Перечислите средства и способы, которые вам помогли достичь цели.

5. Оцените деятельность группы и каждого участника группы на уроке.

6. Сформулируйте неразрешенные затруднения на уроке, если они есть.

Учащиеся обсуждают работу на уроке, организаторы озвучивают результаты анализа деятельности групп.

- А теперь каждый проанализируйте свою работу.

Учащиеся заполняют индивидуальные карточки

Домашнее задание

1. Постройте графики функций у = –f(x), у = f(–x), у = –f(–x), если:

1. ,

2. ,

3. .

1. Повторить эталоны.