Урок алгебры с использованием презентации "Решение логарифмических уравнений"

Цель урока:

— продолжить формирование умений и навыков по решению логарифмических уравнений;

— систематизировать методы их решения, чтобы вы могли применять полученные знания при решении заданий повышен­ной сложности;

— формировать научное мировоззрение учащихся путём использования исторической и культурологической информации.

Организационная часть.

Сегодня у нас заключительный урок по теме «Решение лога­рифмических уравнений». (слайд 1)

Но вначале вспомним свойства логарифмов с помощью теста. Свои знания вы оцените сами, сверив ответы с предложенными, используя предоставленные нормы оценок. (слайд 2)

Тест:

Вычислите:

а) log₂16; [4] б) log₄32; [2,5]

1) 3; 2) 4; 3) 8; 4) 32. 1) 8; 2) 4; 3) 5; 4) 2,5.

в) ; [5] г) log₄2 + log₄8; [2]

1) 2; 2) 10; 3) 4; 4) 5. 1) 10; 2) 16; 3) 2; 4) 4.

д) log₃54 – log₃2; [3] e) ; [8]

1) 27; 2) 53; 3) 9; 4) 3. 1) 7; 2) 8; 3) – 1; 4) 1.

ж) ; [3] з)log₃27; [– 1]

1) 9; 2) 4; 3) 2; 4) 3. 1) 3; 2) 9; 3) – 1; 4) – 3.

и) ; [2] к) . [7]

1) 1; 2) 2; 3) 4; 4) 6. 1) 5; 2) 6; 3) 7; 4) 4. (слайд 3)

Решение уравнений (слайд 4)

1. Решите уравнения методом потенцирова­ния:

а) log₂ (3x – 6) = log₂ (2х – 3);

б) log₆ (14 – 4х) = log₆ (2х + 2);

в) log_0,5 (7х – 9) = log_0,5 (х – 3);

г) log_0,2(12х + 8) = log_0,2(11х + 7).

1. Решите уравнения методом введения вспо­могательной переменной:

а) log²₂ х – 4 log₂ х + 3 = 0;

б) lg² х³ – 101g х + 1 = 0;

в) 3log²_0,5 x + 5log_0,5 x – 2 = 0;

г) 2log²_0,3 х – 7log_0,3 х – 4 = 0.

Учитель. Кроме этих методов, есть и другие методы решения логарифмических уравнений. Это метод решения логарифмического урав­нения с переходом к другому основанию. Рас­смотрим решение такого уравнения, но прежде вспомним формулу перехода к логарифму по другому основанию (слайд 5)

(log_a b = , , где а 0, b 0, с 0,а1,c1).

1. Решите уравнение методом перехода к ново­му основанию: (слайд 6)

log₂ х + log₄ x + log₁₆ х=7.

Решение. Используя свойство ,

где а 0, b 0, а1,п0, получаем:

log₂ х + 0,51og₂ x + 0,251og₂ x = 7,

откуда log₂ x = 4, х = 16.

Ответ: 16.

Динамическая пауза

Упражнения для мышц шеи, рук и спины.

Самостоятельная работа

б) log₆ (14 – 4x) = log₆ (2x + 2); г) log_0,2 (12x + 8) = log_0,2 (11x + 7);

б) lg² x³ – 10lg x + 1 = 0;

в) № 348 (1). в) № 348 (1).

Итог урока

Учитель. Какие методы мы применяли для решения логарифмических уравнений?

[1) Метод решения с помощью определения; 2) метод потенцирования; 3) метод введения вспомогательной переменной; 4) метод пере­хода к новому основанию.]

Домашнее задание:

№ 348 (2, 4), тренажёр № 6.

Историческая страничка (слайд 7)

Открытие логарифмов было связано с бы­стрым развитием астрономии в XVI в., уточне­нием астрономических наблюдений и усложне­нием астрономических выкладок. Но вряд ли кто из вас задумывался о том, что логарифмы применяются и в самых далеких от точных наук сферах нашей жизни.

Известный физик Эйхенвальд вспоминал: «Товарищ мой по гимназии любил играть на ро­яле, но не любил математику. Он даже говорил с оттенком пренебрежения, что музыка и мате­матика друг с другом не имеют ничего общего. “Правда, Пифагор нашел какие-то соотношения между звуковыми колебаниями, — но ведь как раз пифагорова-то гамма для нашей музыки и оказалась неприемлемой”. Представьте же себе, как неприятно был поражен мой товарищ, ког­да я доказал ему, что, играя по клавишам совре­менного рояля, он играет, собственно говоря, на логарифмах».

И действительно, так называемые ступени темперированной хроматической гаммы (12-звуковой) частот звуковых колебаний представляют собой логарифмы. Только основание этих лога­рифмов равно 2.

Положим, что ноте «до» самой низкой окта­вы — будем ее называть нулевой — соответ­ствует частота, равная п колебаниям в секунду. В октаве частота колебаний нижнего звука в 2 раза меньше верхнего. Тогда ноте «до» первой октавы будут соответствовать 2 п колебаний в се­кунду, а ноте «до» т-й октавы — 2^т • п колеба­ний в секунду. Октава состоит из 12 полутонов, поэтому на каждый полутон приходится увели­чение частоты в раз. Частоту ноты с номером р из т-й октавы можно выразить формулой

N_m = n • 2^m .

Логарифмируя эту формулу и принимая ча­стоту самого низкого «до» за единицу (п = 1), по­лучаем:

log₂ N_mp = m + .

В соответствии с равномерно темперированным строем расстояния между ладами гитары образуют геометрическую прогрессию с коэффициентом 1/r, где r = .

Известный музыкант Иоган Себастьян Бах способствовал популяризации равномерно темперированного строя, написав «Хорошо темперированный клавир», который содержал все тональности. (слайд 8)

Тест:

Вычислите:

а) log₂16; б) log₄32;

1) 3; 2) 4; 3) 8; 4) 32. 1) 8; 2) 4; 3) 5; 4) 2,5.

в) ; г) log₄2 + log₄8;

1) 2; 2) 10; 3) 4; 4) 5. 1) 10; 2) 16; 3) 2; 4) 4.

д) log₃54 – log₃2; e) ;

1) 27; 2) 53; 3) 9; 4) 3. 1) 7; 2) 8; 3) – 1; 4) 1.

ж) ; з)log₃27;

1) 9; 2) 4; 3) 2; 4) 3. 1) 3; 2) 9; 3) – 1; 4) – 3.

и) ; к) .

1) 1; 2) 2; 3) 4; 4) 6. 1) 5; 2) 6; 3) 7; 4) 4.

Самостоятельная работа

I вариант II вариант

б) log₆ (14 – 4x) = log₆ (2x + 2); г) log_0,2 (12x + 8) = log_0,2 (11x + 7);

б) lg² x³ – 10lg x + 1 = 0; б)

в) № 348 (1). в) № 348 (1).

Решение логарифмических уравнений

ТЕСТ

Вычислите:

а )   log 2   16 ;

е)

б )   log 4 32;

ж)

в )

з)  

г )   log 4   2 + log 4   8;

и)

д)   log 3   54 – log 3   2;

к)

8

4

3

2,5

– 1

5

2

2

3

7

Критерии оценивания

6, 7 заданий – оценка «3»

8, 9 заданий – оценка «4»

10 заданий – оценка «5»

1. Решите уравнения

методом потенцирования:

а )  log 2 (3 x – 6) = log 2 (2 x – 3);

б )  log 0,5 (7 x – 9) = log 0,5 ( x – 3);

2. Решите уравнения методом введения вспомогательной переменной:

а)  

б )  

3 log 2 2 x + 4 log 2 x + 3 = 0

3 log 2 0,5 x + 5 log 0,5 x – 2 = 0

0, b 0, c 0, a ≠ 1, c ≠ 1." width="640"

Формула перехода к логарифму по другому основанию

где а 0, b 0, c 0, a ≠ 1, c ≠ 1.

0, b 0, a ≠ 1, n ≠ 0, получаем: log 2 x + 0,5 log 2  x + 0,25 log 2 x = 7, откуда log 2 x = 4, x = 16. Ответ : 16." width="640"

3. Решите уравнение методом перехода

к новому основанию:

log 2 x + log 4 x + log 16 x = 7.

Решение . Используя свойство

где а 0, b 0, a ≠ 1, n ≠ 0, получаем:

log 2 x + 0,5 log 2  x + 0,25 log 2 x = 7,

откуда log 2 x = 4, x = 16.

Ответ : 16.

Историческая страничка

• Октава состоит из 12 полутонов, поэтому на каждый полутон приходится увеличение частоты в раз. Частоту ноты с номером р из т -й октавы можно выразить формулой N m = n • 2 m .
• Логарифмируя эту формулу и принимая ча­стоту самого низкого «до» за единицу ( n = 1), получаем:

log 2 N mp = m + .

В соответствии с равномерно темперированным строем расстояния между ладами гитары образуют геометрическую прогрессию с коэффициентом 1/г, где r =

И.С. Бах (1685-1750) способствовал популяризации равномерно темперированного строя, написав «Хорошо темперированный клавир», который содержал все тональности

Всем

спасибо

за урок!