Уравнение окружности. Решение задач (технологическая карта)

Предмет

Геометрия

Тема урока

«Уравнение окружности. Решение задач»

Класс

9

Учитель

Тумудова Светлана Викторовна

Тип урока

Урок комплексного применения знаний и умений (урок закрепления знаний)

Вид урока

Комбинированный

Используемые технологии

Технология проблемного обучения, информационно-коммуникационные технологии, технология «педагогики сотрудничества», технология УДЕ, технология «мозговой штурм»

Цель деятельности учителя

Создать условия для закрепления знаний учащихся в ходе решения задач и их практического применения, развития логического мышления, формирования исследовательских умений и навыков, личностных, коммуникативных, регулятивных и познавательных УУД

Дидактические цели урока

Образовательные: повторить понятия «касательная к окружности», «вписанный прямой угол», «хорда», совершенствовать умения и навыки применять знания об окружности при решении задач, отработать навыки построения, чтения геометрических чертежей

Развивающие: развивать творческую инициативу, умение применять приемы анализа, сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развивать устную речь, развивать элементы геометрического мышления, воспитать интерес к оперированию геометрическими понятиями

Воспитательные: воспитывать умение высказывать свою точку зрения, слушать других, принимать участие в диалоге, формировать способность к позитивному сотрудничеству, содействовать формированию внимания, самостоятельности и аккуратности в действиях и выкладках, воспитанию активной творческой личности, умеющей видеть, ставить и  решать нестандартные проблемы.

Термины и понятия

Окружность, центр окружности, радиус, диаметр, середина отрезка, касательная, вписанный угол, хорда

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Владеют базовым понятийным аппаратом, умеют применять метод координат

Познавательные: умеют устанавливать причинно-следственные связи, выбирать наиболее эффективные способы решения учебных и познавательных задач, делать умозаключение, формулировать выводы, умеют использовать математические средства наглядности для иллюстрации, аргументации, видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации

Регулятивные: самостоятельно формулируют познавательную цель и строят свои действия в соответствии с ней, умеют контролировать процесс и результат учебной деятельности

Коммуникативные: умеют организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками, работать в группе, ясно, точно, грамотно излагать свои мысли, аргументировать и отстаивать свое мнение, учитывают разные мнения и стремятся к координации различных позиций в сотрудничестве

Личностные: проявляют познавательный интерес к изучению предмета, креативность мышления, инициативность, находчивость и активность при решении задач, осознают важность и необходимость знаний в жизни человека

Формы работы

Фронтальная, индивидуальная, групповая

Приемы работы

Деятельностный подход к обучению (самостоятельный поиск решения задач), личностно-ориентированный подход

Методы работы

Проблемно-сообщающий, метод самоорганизации познавательной работы на всех этапах урока

Образовательные ресурсы

Задания для групповой работы, индивидуальные раздаточные карточки, карточки для рефлексии, презентация, учебник «Геометрия. 7-9 классы» (Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Э.Г.Позняк, И.И.Юдина)

1 этап. Организационный этап

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Психологическая установка на урок

Приветствие, постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся. Снятие эмоционального напряжения, создание атмосферы открытости и доверительности, направление взаимодействия субъектов педагогического процесса в сторону сотрудничества и позитивного восприятия друг друга.

Включаются в деловой ритм урока

2 этап. Актуализация опорных знаний и способов действий

Цель деятельности

Задания для самостоятельной работы и индивидуальные задания по карточкам №1-4( у доски):

Проверка уровня теоретических знаний, выявление пробелов в знаниях и способах деятельности учащихся

Математический диктант с последующей проверкой

1. Назовите координаты центра, найдите радиус:

а) (х-3)²+(у-4)²=16 б) х²+(у+)²=1,44 в) (х+10)²+(у +)² = 5

г) х²+4х+4+у²=25 д) х²+у²=49 е) (х-18)² + (у+4)² = -36

2. найдите по чертежу координаты центра окружности и радиус 3.напишите уравнение окружности с центром в точке (-2;2) и R=11

4. как называется хорда, проходящая через центр окружности?

5.как называется геометрическая фигура, состоящая из множества всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки?

Индивидуальные задания по карточкам:

построить в одной координатной плоскости окружности (на доске)

№1. (х-4)²+(у-3)²=4

№2. (х+4)²+(у-3)²=4

№3. (х-4)²+(у+3)²=4

№4. (х+4)²+(у+3)²=4

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Обсуждение результатов математического диктанта, результатов индивидуальной работы по карточкам

Проводят коллективное исследование, указывают на симметричность окружностей относительно осей координат и начала координат

3 этап. Решение задач.

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Совершенствование

навыков решения задач

Создание проблемной ситуации

Создание проблемной ситуации

1.Найдите координаты центра окружности, если АВ - диаметр, где А (2;3), В(6;3)

2.Вычислите радиус окружности

3.напишите уравнение окружности, построить окружность

4.найдите точки пересечения окружности с осями координат

5.Укажите, не пользуясь чертежом, какие из точек М(1;7); Р(5;2) и А(2;3) лежат:

а) вне круга, ограниченного данной окружностью;

б) на окружности;

в) внутри круга, ограниченного данной окружностью.

Проверьте по чертежу

6. Как меняется положение окружностей, если

1) в, R –const, а меняется;

2) а, R –const, в меняется;

3) а, в –const, R меняется;

4)R –const, а, в меняются.

1.а==4; в==3; С(4;3)–центр окружности

2.R=АС==2

3. (х-4)²+(у-3)²=4

4. 1 способ: по чертежу а) с осью ОХ не имеет точек пересечения

б) с осью ОУ не имеет точек пересечения

2 способ: (х-4)²+(у-3)²=4

а) х=0;(0-4)²+(у-3)²=4;16+(у-3)²=4;(у-3)²-12;

нет точек пересечения с осью ОУ

б) у=0; (х-4)²+(0-3)²=4; (х-4)²+9=4 ( х-4)²-5;

нет точек пересечения с осью ОХ

5.МС==5

РС== =

АС== =2

Учащиеся делают вывод: R=2,значит,

R, то точка лежит

6.Учащиеся строят окружности с параметрами а,в, R

а) (х-⎕)²+(у- 3)²=4

б) (х-4)²+(у-⎕)²=4

в) (х-4)²+(у-3)²=⎕²

г) (х-⎕)²+(у- ⎕)²=4

Учащиеся получили множество окружностей, центры которых лежат на прямой у=3 или на х=4, концентрические окружности.

4 этап. Практическая работа. «Мозговой штурм»

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Поиск различных способов решения задачи.

Творческое применение знаний и в новой ситуации (проблемные задания)

Освоение различных способов нахождения центра окружности. Формирование практических навыков решения задач.

- какие обратные задачи научились выполнять на уроке?

-историческая справка

-как найти центр окружности, если окружность не задана уравнением, и нет ее изображения на координатной плоскости?

Учитель разбивает класс на 3 группы:

Задание для группы №1(теоретики): какие теоретические утверждения помогут для решения этой проблемы?

(Можно пользоваться справочными материалами.)

Задание для группы №2 (искатели): как с помощью чертежных инструментов найти центр окружности?

Задание для группы №3 (практики): как найти центр окружности без инструментов?

научились

сообщение ученика: В Древней Греции круги, окружность считались венцом совершенства. Действительно, в каждой своей точке окружность устроена одинаковым образом, что позволяет ей двигаться самой по себе. Это свойство окружности сделало возможным возникновение колеса. В русском языке слово «круглый» тоже означает высокую степень чего-либо: «круглый отличник», «круглый сирота». Ещё до колеса люди использовали круглые брёвна – катки для перевозки тяжестей. Рисунки на стенах египетских пирамид, рассказывают нам, что именно так доставлялись огромные камни на строительство этих пирамид.

Группа№1

Утверждения, приведенные теоретиками:

1)построить прямой угол: прямой угол опирается на диаметр;

2) построить два перпендикулярных прямых: диаметр, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной;

3) построить два перпендикулярных прямых: хорда, перпендикулярная другой хорде и проходящая через ее середину, есть диаметр;

4) построить угол с биссектрисой: диаметр окружности лежит на биссектрисе угла, описанного около этой окружности.

Группа№2 (строят окружности в тетради, находят центр окружности с помощью чертежных инструментов)

Группа№3 (для них вырезаны круги из бумаги, его центр нужно найти без использования инструментов)
Решение1) (с помощью трех перегибаний листа бумаги): Линии сгиба будем обозначать пунктиром, а операцию сгибания и разгибания стрелкой (рис.1-3)
а) согнем круг, получим хорду АВ.
б) согнем круг так, чтобы А и В совпали, а затем разогнуть. Получится СD.
в) согнуть фигуру так, чтобы совместились точки  С и D, а потом разогнуть.

В результате получим линию МN. СD ∩ МN=О. Точка О — центр круга
Рис. 3

Решение 2 (с помощью четырех перегибаний круга): Центр круга - точка пересечения двух диаметров, перпендикулярных двум хордам. (рис. 4—6.)
Рис. 6
Решение 3(с помощью двух перегибаний круга): Центр круга можно получить как точку пересечения взаимно перпендикулярных диаметров. Сгибаем так, чтобы одна полуокружность совпала с другой полуокружностью (рис 7, 8).
Рис. 7Рис. 8
Решение 4 (с использованием листа прямоугольной формы и линейки без делений)
  
Рис. 9 Рис. 10 Рис. 11
а) Сгибая лист (рис. 9), нахо­дим биссектрису прямого угла;
б) Расположим круг поверх прямоугольника так, чтобы окружность касалась сторон угла, и с помощью линейки построим ось симметрии круга (рис. 10);
в) Повернем круг так, чтобы он по-прежнему касался сторон угла, и проведем вторую ось (рис. 11). Пересечение двух осей симметрии - центр круга.

5 этап. Итоги урока. Рефлексия.

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Инструктаж по выполнению домашнего задания.

Подведение итогов занятия. Самооценка результатов своей деятельности.

Учитель даёт комментарии к домашнему заданию, организует подведение итогов.

- Удалось ли нам решить проблему урока?

- Какие знания, полученные ранее, позволили открыть новое?

- Проанализируйте свою работу.

Раздаются карточки рефлексии «Чемодан, мясорубка, корзина». Ученикам предлагается выбрать, как они поступят с информацией, полученной на уроке.

Чемодан – всё, что пригодится в дальнейшем.
Мясорубка – информацию переработаю.
Корзина – всё выброшу.

Записывают домашнее задание:

а) № 963, №969,

б) составить синквейн по сегодняшней теме урока.

Учащиеся оценивают результаты своей деятельности, как они усвоили учебный материал, что понравилось на уроке, какая информация, формы работы вызвали положительные эмоции или, по мнению ученика, могут быть ему полезны для достижения каких-то целей. Также указывают на то, что не понравилось на уроке, показалось скучным, непонятным, или информацию, которая, по мнению ученика, оказалась для него не нужной, бесполезной с точки зрения решения.