Теория деления многочлена на многочлен

Алгоритм деления «уголком» многочленов от одной переменной

      Напомним, что разделить натуральное число   a   на натуральное число   b   – это значит представить число   a   в виде:

a = bc + r ,

где частное   c   и остаток   r   – целые неотрицательные числа, причем остаток   r   удовлетворяет неравенству:

      Если друг на друга делить многочлены, то возникает похожая ситуация.

      Действительно, при выполнении над многочленами операций сложения, вычитания и умножения результатом всегда будет многочлен. В частности, при перемножении двух многочленов, отличных от нуля, степень произведения будет равна сумме степеней сомножителей.

      Однако в результате деления многочленов многочлен получается далеко не всегда.

      Говорят, что один многочлен нацело (без остатка) делится на другой многочлен, если результатом деления является многочлен.

      Если же один многочлен не делится нацело на другой многочлен, то всегда можно выполнить деление многочленов с остатком, в результате которого и частное, и остаток будут многочленами.

      Определение. Разделить многочлен   a(x)   на многочлен   b(x)   с остатком – это значит представить многочлен   a(x)   в виде

a(x) = b(x) c(x) + r(x) ,

где многочлен   c(x)   – частное, а многочлен   r(x)   –  остаток, причем, степень остатка удовлетворяет неравенству:

.

      Очень важно отметить, что формула

a(x) = b(x) c(x) + r(x)

является тождеством, т.е. равенством, справедливым при всех значениях переменной   x .

      При делении (с остатком или без остатка) многочлена на многочлен меньшей степени в частном получается многочлен, степень которого равна разности степеней делимого и делителя.

      Один из способов деления многочленов с остатком – это деление многочленов «уголком», что представляет собой полную аналогию с тем, как это происходит при делении целых чисел.

      К описанию этого способа деления многочленов мы сейчас и переходим.

      Пример. Заранее расположив многочлены по убывающим степеням переменной, разделим многочлен

2x⁴ – x³ + 5x² – 8x + 1

на многочлен

x² – x + 1 .

      Решение. Опишем алгоритм деления многочленов «уголком» по шагам:

1. Делим первый член делимого   2x⁴   на первый член делителя   x².   Получаем первый член частного   2x² .

2. Умножаем первый член частного   2x²   на делитель   x² – x + 1,   а результат умножения

2x⁴ – 2x³ + 2x²

пишем под делимым   2x⁴ – x³ + 5x² – 8x + 1 .

1. Вычитаем из делимого написанный под ним многочлен. Получаем первый остаток

x³ + 3x²– 8x .

Если бы этот остаток был равен нулю, или был многочленом, степень которого меньше, чем степень делителя ( в данном случае меньше   2),   то процесс деления был бы закончен. Однако это не так, и деление продолжается.

1. Делим первый член остатка   x³   на первый член делителя   x² .   Получаем второй член частного   x .

2. Умножаем второй член частного   x   на делитель    x² – x + 1 ,    а результат умножения

x³ – x² + x

пишем под первым остатком   x³ + 3x²– 8x .

1. Вычитаем из первого остатка написанный под ним многочлен. Получаем второй остаток

4x² – 9x + 1 .

Если бы этот остаток был бы равен нулю, или был многочленом, степень которого меньше, чем степень делителя, то процесс деления был бы закончен. Однако это не так, и деление продолжается.

1. Делим первый член второго остатка   4x²   на первый член делителя   x² .   Получаем третий член частного   4.

2. Умножаем третий член частного   4   делитель   x² – x + 1 ,   а результат умножения

4x² – 4x + 4

пишем под вторым остатком.

1. Вычитаем из второго остатка написанный под ним многочлен. Получаем третий остаток

– 5x – 3 .

Степень этого остатка равна   1,   что меньше, чем степень делителя. Следовательно, процесс деления закончен.

1. Таким образом,

 2x⁴ – x³ + 5x² – 8x + 1 = (x² – x + 1) (2x² + x + 4) – 5x – 3 ,

где 

      Запись изложенного процесса деления многочленов «уголком» имеет следующий вид: