Технологическая карта урока математики «Решение показательных уравнений и неравенств»

На учебных занятиях реализовывается дидактическое правило «учить школьников на уроке» за счет изменения общего бюджета времени, т. е. существенное сокращение монолога учителя и увеличение времени на самостоятельную познавательную деятельность школьников.

 С этой целью учитель до начала изучения новой темы:

1) определяет оптимальный объем (несокращаемый минимум) знаний для каждого класса, который он изложит сам, предусмотрев необходимое количество времени для его обсуждения и осмысления школьниками не дома, а в ходе учебного занятия;

2) сокращение времени на объяснение нового материала должно происхо­дить за счет его систематизации, отбора базовых знаний и четкости в изложении;

3) самостоятельная познавательная деятельность школьников может быть организована только при условии создания благоприятного эмоцио­нального фона, что возможно благодаря изменениям в оценочной деятель­ности учителя, введению самоконтроля и самооценки учащихся, согласуемой с учителем;

4) изменения поведенческого стиля учителя, выполнения им функций координатора учебных действий школьников.

Типовая схема учебного занятия включает в себя следующие основные элементы (этапы):

проверку итогов предыдущей работы;

презентацию нового материала;

практику под руководством учителя;

независимую самостоятельную практику обучаемых;

самоконтроль и самооценку результатов работы;

подведение итогов занятия;

определение домашнего задания;

специальное повторение;

контроль знаний обучающихся.

Поскольку любое занятие есть система, искусственно создаваемая учителем ради достижения конкретной цели, то из этого набора этапов можно создать самые разнообразные комбинации. Причем следует иметь в виду, что в живом процессе обучения несколько этапов могут быть объеди­нены в один, а время, отведенное на каждый этап, может варьироваться в соответствии с учебной ситуацией. При этом следует помнить, что исключение и перешагивание любого из этапов обычно приводит к снижению эффективности педагогического процесса.

Технологическая карта изучения темы: «Решение показательных уравнений и неравенств».

Технологическая карта состоит из 6 учебных элементов (УЭ). Содержание первых 4 УЭ соответствует уровню обязательной подготовки учащихся, в результате работы с этими элементами учащиеся должны научиться решать показательные уравнения и неравенства, заданными способами (сведением к одному основанию, вынесением за скобки общего множителя, сведением к квадратному уравнению). УЭ №5 заставляет учащихся самостоятельно выбирать решения показательных уравнений и неравенств, а УЭ №6 – применять полученные знания в нестандартной ситуации.

Учебные элементы №5 и 6 не являются обязательными для всех учащихся, поэтому у учеников есть запас времени, и они могут работать над учебными элементами в комфортном для них темпе и на доступном для них уровне. Свои результаты работы учащиеся отмечают в карте достижений. 

Учебный Элемент №1.

Цель:

освоить и закрепить навыки решения показательных уравнений и неравенств методом сведения к одному основанию.

План работы.

1. Вспомнить свойства степени и показательной функции:

а) Степени с одинаковым основанием а > 0, а ≠ 1 равны только тогда, когда равны их показатели, т. е. а ^х₁ = а ^х₂ <====> х₁ = х₂

б) Множество значений показательной функции – множество всех положительных чисел.

в) Показательная функция у = а^х является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если а >1, и убывающей, если 0 < а < 1.

Для возрастающей функции соответствует большее значение аргумента, а для убывающей функции большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента.

2. Разобрать по учебнику задачи 1-2, из §12, задачи 1-2 из §13, дополнительно задача 7 из §12 и задача 3 из §13.

3. Задания самостоятельной работы.

Весь материал - в документе.

Г.М.Новикова,

учитель математики
МОУ «Заволжская СОШ им.П.П.Смирнова»
Калининского района
Тверской области, первая квалификационная категория

Модульное обучение.

Сущность модульного обучения состоит в том, что ученик полностью самостоятельно (или с определенной дозой помощи) достигает конкретных целей учения в процессе работы с модулем.

Модуль - это целевой функциональный узел, в котором объе­динены учебное содержание и технология овладения им. Содержание обучения представляется в законченных самостоятельных комплексах (информационных блоках), усвоение которых осуществляется в соответствии с целью. Дидактическая цель формулируется для обучаемого и содержит в себе не только указание на объем знания, но и на уровень его усвоения.

Модули позволяют перевести обучение на субъект-субъектную основу, индивидуализировать работу с отдельными учащимися, дозировать инди­видуальную помощь, изменить формы общения учителя и ученика.

Педагог разрабатывает программу, которая состоит из комплекса мо­дулей и последовательно усложняющихся дидактических задач, обеспечивая при этом входной и промежуточный контроль, позволяющий ученику вместе с учителем осуществлять управление учением.

Технология модульного обучения - личностно-ориентированная технология обучения и позволяет максимально адаптировать учебный процесс к возможностям и потребностям обучаемых. В процессе ее реализации у школьников может происходить развитие таких психических феноменов, как память, воля, эмоциональная сфера. А также развитие коммуникативных умений, самостоятельности и прочее.

На учебных занятиях реализовывается дидактическое правило «учить
школьников на уроке» за счет изменения общего бюджета времени, т.е.
существенное сокращение монолога учителя и увеличение времени на
самостоятельную познавательную деятельность школьников.

С этой целью учитель до начала изучения новой темы:

1) определяет оптимальный объем (несокращаемый минимум) знаний для каждого класса, который он изложит сам, предусмотрев необходимое количество времени для его обсуждения и осмысления школьниками не дома, а в ходе учебного занятия;

2) сокращение времени на объяснение нового материала должно происхо­дить за счет его систематизации, отбора базовых знаний и четкости в изложении;

3) самостоятельная познавательная деятельность школьников может быть организована только при условии создания благоприятного эмоцио­нального фона, что возможно благодаря изменениям в оценочной деятель­ности учителя, введению самоконтроля и самооценки учащихся, согласуемой с учителем;

4) изменения поведенческого стиля учителя, выполнения им функций координатора учебных действий школьников.

Типовая схема учебного занятия включает в себя следующие основные элементы (этапы):

проверку итогов предыдущей работы;

презентацию нового материала;

практику под руководством учителя;

независимую самостоятельную практику обучаемых;

самоконтроль и самооценку результатов работы;

подведение итогов занятия;

определение домашнего задания;

специальное повторение;

контроль знаний обучающихся.

Поскольку любое занятие есть система, искусственно создаваемая учителем ради достижения конкретной цели, то из этого набора этапов можно создать самые разнообразные комбинации. Причем следует иметь в виду, что в живом процессе обучения несколько этапов могут быть объеди­нены в один, а время, отведенное на каждый этап, может варьироваться в соответствии с учебной ситуацией. При этом следует помнить, что исключение и перешагивание любого из этапов обычно приводит к снижению эффективности педагогического процесса.

Технологическая карта изучения темы:

«Решение показательных уравнений и неравенств».

Технологическая карта состоит из 6 учебных элементов (УЭ). Содержание первых 4 УЭ соответствует уровню обязательной подготовки учащихся, в результате работы с этими элементами учащиеся должны научиться решать показательные уравнения и неравенства, заданными способами (сведением к одному основанию, вынесением за скобки общего множителя, сведением к квадратному уравнению). УЭ №5 заставляет учащихся самостоятельно выбирать решения показательных уравнений и неравенств, а УЭ №6 – применять полученные знания в нестандартной ситуации. Учебные элементы №5 и 6 не являются обязательными для всех учащихся, поэтому у учеников есть запас времени, и они могут работать над учебными элементами в комфортном для них темпе и на доступном для них уровне. Свои результаты работы учащиеся отмечают в карте достижений.

Карта достижений.

Учебный Элемент №1.

Цель: освоить и закрепить навыки решения показательных уравнений и неравенств методом сведения к одному основанию.

План работы.

1. Вспомнить свойства степени и показательной функции:

а) Степени с одинаковым основанием а 0, а ≠ 1 равны только тогда, когда равны их показатели, т.е. а ^х₁ = а ^х₂ х₁ = х₂

б) Множество значений показательной функции – множество всех положительных чисел.

в) Показательная функция у = а^х является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если а 1, и убывающей, если 0

Для возрастающей функции соответствует большее значение аргумента, а для убывающей функции большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента.

2. Разобрать по учебнику задачи 1-2, из §12, задачи 1-2 из §13, дополнительно задача 7 из §12 и задача 3 из §13.

3. Задания самостоятельной работы.

Вариант 1 Вариант2

1) 0,3 ^3х-2 = 0,3² (1балл) 1) (¹/₃)^3х-1 =(¹/₃ )^-2 (1 балл)

2) (¹/₃)^х = ¹/₈₁ (1 балл) 2) 400^х = ¹/₂₀ (1 балл)

3) 4 ^{х² -5х-6} = 1 (1 балл) 3) (¹/₇) ^х²-2х-3 = 1 (1балл)

4) 5^1-х 125 (1 балл) 4) 3^2-х = 81 (1 балл)

5) (¹/₃)^х+2 ≤ ¹/₂₇ (1 балл) 5) (¹/₄) ^х-2 ≥ ¹/₆₄ (1балл)

6) 1,5^{5х - 7} = (²/₃)^х+1 (2 балла) 6) 0,75^2х-3 = (1 ¹/₃)^5-х (2 балла)

7) 0,7 ^{х² 4} (2 балла) 7) (¹/₃)^{х² 1}/₈₁ (2 балла)

4. Итоги и коррекция.

Проверьте работу по листу контроля.

Поставьте баллы в свою карту достижений. Если набрали меньше 6 баллов, решите задания другого варианта, соответствующие тем, с которыми вы не справились, и поставьте дополнительные баллы.

Если вы набрали 6 и более баллов, то можно переходить к УЭ №2.

5. Домашнее задание. §12 (1,2,7) §13 (1,2,3)

на «3» №208-210

№228-229

на «4-5» №217; 220; 231.

№214-215

Учебный элемент №2

Цель: Научиться и закрепить умение решать показательные уравнения и неравенства методом вынесения общего множителя за скобки.

План работы.

1. Разберите решение задач №1, №2, №5.

Задача 1. Решить уравнение 3 ^х+1 – 2·3 ^х-2 = 25

Вынесем в левой части уравнения за скобки общий множитель 3 ^х-2 . Получим 3 ^х-2 (3 ^х+1-х+2 - 2) = 25

3 ^х-2 · (3³ - 2) = 25

3 ^х-2 · 25 = 25;

3 ^х-2 = 1; 3 ^х-2 = 3⁰

х – 2 = 0

х = 2

Ответ: х = 2

Задача 2. Решить уравнение 5 ^х = 4 ^х

Так как 4^х ≠ 0, то обе части уравнения можно разделить на 4^х:

(5 ^х): (4 ^х) = ( 4 ^х) : (4 ^х); (⁵/₄)^х = 1

(⁵/₄)^х =(⁵/₄)⁰

х = 0

Ответ: х = 0

Задача 3 . Решить уравнение 3 · 2 ^х+1 + 2 · 5 ^х-2 = 5^х + 2 ^х-2

3 · 2 ^х+1 - 2 ^х-2 = 5^х + 2 · 5^х-2

2 ^х-2 (3 · 2 ^х+1-х+2 - 1) = 5^х-2 · (5^х-х+2 – 2);

2 ^х-2 (3 · 2³ - 1) = 5^х-2 · (5² – 2);

2 ^х-2 · 23 = 5^х-2 · 23;

(2 ^х-2 · 23) : (5^х-2 · 23) = 1;

(²/₅)^х-2 = (²/₅)⁰; х – 2 = 0; х =2

Ответ: х =2

2. Задания самостоятельной работы.

Вариант 1. Вариант 2.

1. 2^х + 2^х-3 = 18 (2 балла) 1. 3^х + 4 · 3^х+1 = 13 (2 балла)

2. 5^х+1 + 3·5^х-1 + 6·5^х = -10 (3 балла) 2. 2·3^х+1 - 6·3^х-1 – 3^х = 9 (3балла)

3. 3^х+2 + 3^{х-1 х-1} + 2^х+3 17 (3 балла)

3. Итоги и коррекция.

Проверьте работу по листу контроля. Исправьте ошибки, выставьте баллы в карту достижений.

Если вы набрали менее 5 баллов, то нужно решить аналогичные задания другого варианта, проверьте и добавьте соответствующие баллы.

Если набрано 5 и более баллов, то можно приступить к УЭ №3

4. Домашнее задание. §12 (задачи 3,4,5)

на «3» №211, 212.

на «4-5» №218, 219, 222, 232 (3,4)

Учебный элемент №3.

Цель: научиться и закрепить умение решать показательные уравнения и неравенства методом сведения к квадратному уравнению.

План работы.

1. Разберите решение задачи.

Решите уравнение 9^х – 4·3^х – 45 = 0.

(3²)^х - 4·3^х – 45 = 0;

3^2х - 4·3^х – 45 = 0;

Обозначим 3^х = t, тогда 3^2х = t², где t 0,

t² – 4t – 45 = 0.

t₁ = 9 t₂ = -5, откуда

3^х = 9 3^х = -5

3^х = 3² нет корней, так как показательная функция не может принимать

х = 2 отрицательные значения.

Ответ: х = 2

2. Задания самостоятельной работы.

Вариант 1. Вариант 2 .

1. 9^х - 7·3^х – 18 = 0 (2 балла) 1. 4^х - 2^х – 20 = 0 (2 балла)

2. 2^2х+1 + 7·2^х = 4 (3 балла) 2. 3^2х+1 - 8·3^х = 3 (3 балла)

3. 5^2х+1 + 4·5^х – 1 0 (3 балла) 3. 3·9^х + 11·3^х

3. Итоги и коррекция.

Проверьте работу по листу контроля. Исправьте ошибки, выставьте баллы в карту достижений.

Если набрали менее 5 баллов, то нужно решить соответствующие задания другого варианта, проверьте их и добавьте соответствующие баллы.

Если набрано 5 и более баллов, то можно приступить к следующему УЭ №4.

4. Домашнее задание. §12 (задача 6)

на «3» № 213

на «4-5» № 232; 234

Учебный элемент №4.

Цель: освоить и закрепить навыки решения показательных уравнений и неравенств.

План работы.

1. Разберите по учебнику задачи №1 и №2 из §14.

Дополнительно задача 4 из §14.

2. Задания самостоятельной работы.

Вариант 1. Вариант 2.

1) х – у = 4, (2балла) 1) х + у = -2 , (2балла)

5^х+у = 25 6^х+5у = 36

2) 2^х · 5^у = 10, (3 балла) 2) 16^х+у = 256, (3балла)

5^у - 2^х = 3 16^у – 16^х = 24

3) 5^2х+1 625, (3 балла) 3) 3,7^{х² 4}, (3 балла)

11^6х²-10х = 11^9х-15 0,3^10х²-47х = 0,3^-10х-7

3. Итоги и коррекция.

Проверьте работу по листу контроля.

Исправьте ошибки, выставьте баллы в карту достижений.

Если набрано менее 5 баллов, то нужно решить соответствующие задания другого варианта, проверьте и добавьте соответствующие баллы.

Если набрано 5 и более баллов, то можно приступить к следующему УЭ №5.

4. Домашнее задание. §14, №240-242;

Дополнительно §14 (задачи 3 и 5),

№243- 244

Учебный элемент №5.

Цель: Научиться решать показательные уравнения и неравенства самостоятельно выбирая метод решения.

План работы.

1. Используя известные вам способы решения показательных уравнений и неравенств и указания учителя из УЭ №1-4, выполните самостоятельную работу.

2. Задания самостоятельной работы.

Вариант 1. Вариант 2.

1. 16^5-3х = 0,125^5х-6 (1 балл) 1. 128·16^2х+1 = 8^3-2х (1балл)

2. 3^х-3 + ¹/₃·3^х 10 (1 балл) 2. 2^х+1 + ¹/₂·2^х

3. 9^х - 5·3^х+1 + 54 = 0 (2 балла) 3. 2^2х+1 - 7·2^х + 3 = 0 (2 балла)

4. 7^х+1 + 3·7^х = 2^х+5 + 3·2^х (2 балла) 4. 3^х+3 + 3^х = 5·2^х+4 - 17·2х (2 балла)

5. 3^х² ≤ 81 (2балла) 5. 27^{х х²-1} (2 балла)

3. Итоги и коррекция.

Проверьте работу по листу контроля.

Исправьте ошибки, выставьте баллы в карту достижений.

Если набрано менее 5 баллов, то нужно решить соответствующие задания другого варианта, проверьте и добавьте соответствующие баллы.

Если набрано 5 и более баллов, то можно приступить к следующему УЭ №6.

4. Домашнее задание. «Проверь себя», стр. 86 учебника.

Учебный Элемент №6.

Цель: научиться применять полученные знания в нестандартной ситуации.

План работы.

1. Задания самостоятельной работы.

1. 4^{(х-3) : (2)} = 3^2(х-3) (2 балла) 1. Приведите степени к

одному показателю.

2. 0,7^х²+2х ≤ 0,7³ (2 балла) 2. Обратите внимание на

основание степени.

3. 2^3х + 8·2^х - 6·2^2х = 0 (3 балла) 3. Вынесите за скобки

общий множитель.

4. 2^х+1 + 2^х-1 – 3^х-1 = 3^х-2 – 2^х-3 +2·3^х-3 (3 балла) 4. Соберите степени с

одинаковыми основаниями

в одной части.

5. 3^х – 2^у = 77, (3 балла) 5. Ввести подстановку:

3^{(х) : (2)} – 2^у = 7 3х = u; 2у =U

2. итоги и коррекция.

Проверьте свои решения и отметьте количество набранных баллов в карте достижений.

3. Доделайте дома те задания, с которыми не смогли справиться в классе.

05.12.2014 г.

2