Справочный материал к урокам математики (5 класс)

ПОВТОРИ И ЗАПОМНИ-5

Десятичные дроби. Сложение и вычитание.

Алгоритм сложения (вычитания) дробей

Чтобы сложить (вычесть) десятичные дроби, надо:

1) Уравнять в дробях число знаков после запятой.

2) Записать их “в столбик” так, чтобы запятая оказалась под запятой.

3) Выполнить сложение (вычитание), не обращая внимания на запятую.

4) Поставить в ответе запятую под запятой в данных дробях.

Умножение десятичных дробей

Алгоритм умножения десятичных дробей

Чтобы перемножить десятичные дроби, надо:

1) Отбросить в множителях запятые и перемножить получившиеся натуральные числа.

2) В полученном произведении отделить запятой справа столько знаков после запятой, сколько их в обоих множителях вместе.

Деление десятичных дробей

Алгоритм деления десятичных дробей

Чтобы поделить десятичную дробь на натуральное число, надо:

1) Выполнить деление целой части.

2) Поставить в частном запятую.

3) Продолжить деление, не обращая внимания на запятую, дописывая в делимом после запятой столько нулей, сколько потребуется.

Чтобы поделить десятичную дробь на десятичную дробь, надо:

1) Перенести в делимом и в делителе запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе.

2) Выполнить деление на натуральное число.

Умножение и деление десятичных дробей на 10, 100, 1000 и т.д.

Чтобы умножить или разделить десятичную дробь на 10,100,1000 и т.д., надо перенести запятую соответственно на 1, 2, 3 и т.д. разряда вправо, а при делении - на 1, 2, 3 и т.д. разряда влево.

2,75  10 = 27,5; 2,75 : 10 = 2,75;

2,75  100 = 275; 2,75 : 100 = 0,275;

2,75  1000 = 2750; 2,75 : 1000 = 0,0275;

2,75  10 000 = 275000; 2,75 : 10 000 = 0,000275;

Умножение и деление десятичных дробей на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д.

Заметим, что при умножении числа на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д. оно уменьшается соответственно в 10, 100, 1000 и т.д. раз, а при делении увеличивается в 10, 100, 1000 и т.д. раз

Поэтому чтобы умножить или разделить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д., надо перенести запятую соответственно на 1, 2, 3 и т.д. разряда влево, а при делении - на 1, 2, 3 и т.д. разряда вправо.

2,75  0,1 = 0,275; 2,75 : 0,1 = 27,5;

2,75  0,01 = 0,0275; 2,75 : 0,01 = 275;

2,75  0,001 = 0,00275; 2,75 : 0,001 = 27500;

2,75  0,0001 = 0,000275; 2,75 : 0,0001 = 275000;

Применение десятичных дробей

Чтобы записать число в более мелких единицах, надо умножить его на 10, 100, 1000 и т.д.

5,3м = 530см; 5,3м = 5,3  100см = 530см; 1м = 100см

0,18м = 1,8дм; 0,18м = 0,18  10дм = 1,8дм; 1м = 10дм

12,7 км = 12700м; 12,7км = 12,7  1000м = 12700м; 1км = 1000м

Чтобы записать число в более крупных единицах, надо умножить его на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д.

29 кг = 0,029т; 29 кг = 29  0,001 т = 0,029 т; 1 кг = 0,001 т

17,5 ц = 1,75т; 17,5 ц = 17,5  0,1 т = 1,75 т; 1 ц = 0,1 т

8,4 кг = 0,084 ц; 8,4 кг = 8,4  0,01 ц = 0,084 ц; 1 кг = 0,01 ц

250 г = 0,25 кг; 250 г = 250  0,001 кг = 0,25 кг; 1 г = 0,001 кг

Чтобы записать число процентов в виде десятичной дроби, надо данное число разделить на 100

7 % = 0,07; 7% = 7 : 100 = 0,07

32 % = 0,32; 32% = 32 : 100 = 0,32 1% - сотая часть числа

129 % = 1,29; 129% = 129 : 100 = 1,29

4,5% = 0,045; 4,5% = 4,5 : 100 = 0,045

Чтобы записать десятичную дробь в виде процентов, надо данное число умножить на 100

0,09 = 9 %; 0,09 = 0,09  100 = 9%

0,36 = 36 %; 0,36 = 0,36  100 = 36%

2,4 = 240 %; 2,4 = 2,4  100 = 240%

0,0278 = 2,78 %; 0,0278 = 0,0278  100 = 2,78%

ПОВТОРИ И ЗАПОМНИ-9

Уравнения.

Уравнением называют равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.

х + 12 = 78

Значение буквы, при котором из уравнения получается верное числовое равенство, называют корнем уравнения.

х = 66

Решить уравнение - значит найти все его корни или убедиться, что это уравнение не имеет ни одного корня.

ПОВТОРИ И ЗАПОМНИ - 1

1. Разложить данные числа на простые множители.

2. Выписать в виде произведения все общие простые множители чисел.

3. Если необходимо, найти полученное произведение.

1. Разложить данные числа на простые множители.

2. Выписать наибольшее число.

3. Умножить его на недостающие множители из разложений оставшихся чисел.

4. Если необходимо, найти полученное произведение.

Наименьшее общее кратное взаимно простых чисел равно их

произведению.

ПОВТОРИ И ЗАПОМНИ-2

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Сокращение дроби

Деление числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от 1, называют сокращением дроби.

Несократимая дробь

Дробь, числитель и знаменатель которой взаимно простые числа, называют несократимой.

Свойство сокращения дроби

Если сократить дробь на наибольший общий делитель числителя и знаменателя, то получится несократимая дробь.

Общий знаменатель двух дробей

Общий знаменатель двух дробей — это общее кратное их знаменателей.

Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо:

1) найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей;

2) найти дополнительные множители для каждой из дробей, разделив общий знаменатель на знаменатели данных дробей;

3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель.

Сравнение дробей

Чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями, надо привести их к общему знаменателю, а затем применить

правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.

Сложение и вычитание дробей

Чтобы сложить (вычесть) две дроби с разными знаменателями, надо привести их к общему знаменателю, а затем

применить правило сложения (вычитания) дробей с одинаковыми знаменателями.

Сложение и вычитание смешанных чисел.

Чтобы сложить смешанные числа, можно:

1) привести дробные части к наименьшему общему знаменателю;

2) сложить отдельно целые и дробные части;

3) если необходимо, сократить дробную часть;

4) если дробная часть суммы окажется неправильной дробью, выделить из нее целую часть и полученное число прибавить к целой части суммы.

Чтобы вычесть смешанные числа, можно:

1) привести дробные части к наименьшему общему знаменателю;

2) если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, "занять" единицу из целой части;

3) вычесть отдельно целые и дробные части;

4) если необходимо, сократить дробную часть.

Умножение дробей

Произведением двух дробей является дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей.

Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо её числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без

изменений.

Чтобы перемножить смешанные числа, надо перемножать, записывая их сначала в виде неправильных дробей, а затем применяя общее правило умножения дробей.

Свойства нуля и единицы при умножении дробей

Деление дробей

Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на дробь, обратную делителю:

Свойства нуля и единицы при делении дробей

Чтобы разделить дробь на натуральное число, можно умножить на это число знаменатель, а числитель оставить прежним:

Чтобы разделить смешанные числа, надо их сначала перевести в неправильные дроби, а затем применить общее правило деления дробей:

Примеры вычислений с дробями

Чтобы решить уравнение в целых числах, надо умножить обе части уравнения на наименьшее общее кратное всех знаменателей дробей, входящих в его запись. Получится уравнение, равносильное данному, но записанное уже только с использованием целых чисел:

 24

Перейдем в данном уравнении от дробных чисел к целым. Для этого умножили обе его части на наименьший общий знаменатель исходных дробей - число 24:

,

Пользуясь свойствами сложения и умножения, упростим левую часть уравнения, а затем найдем искомое значение х.

Ответ:

ПОВТОРИ И ЗАПОМНИ-3

Задачи на дроби

ЗАДАЧА 1

Нахождение части от числа, выраженной дробью

Чтобы найти часть от числа, выраженную дробью, надо это число умножить на данную дробь

ПРИМЕРЫ:

Найти

З АДАЧА 2

Нахождение числа по его части, выраженной дробью

Чтобы найти число по его части, выраженной дробью, надо эту часть разделить на данную дробь

ПРИМЕРЫ:

Найти число,

З АДАЧА 3

Нахождение части, которую одно число составляет от другого

Чтобы найти, какую часть первое число составляет от второго, надо первое число разделить на второе

ПРИМЕРЫ:

Найти часть, которую одно число составляет от другого

ПОВТОРИ И ЗАПОМНИ-4

Десятичные дроби. Округление и сравнение.

Дроби со знаменателями 10, 100, 1000 и т.д. , записанные в строчку , называют десятичными дробями.

В десятичной дроби после запятойстоит столько же цифр, сколько нулей в знаменателе соответствующей ей обыкновенной дроби.

Чтобы дробь, в знаменателе которой стоит 10, 100, 1000 и т.д., записать в виде десятичной, надо

СВОЙСТВА ДЕСЯТИЧНОЙ ДРОБИ

•Если к десятичной дроби справа приписать любое количество нулей, то получится дробь, равная данной.

•Значение дроби, оканчивающейся нулями, не изменится,

если последние нули в её записи отбросить.

:

Несократимую дробь можно записать в виде конечнойдесятичной, если ее знаменатель в качестве простых делителей имеет только числа 2 и 5. Для этого надо привести обыкновенную дробь к знаменателю 10, 100, 1000 и т.д., и затем записать ее в виде десятичной дроби.

25

10=2  5

100 = 4  25

1000 = 8  125

10000 = 16  625

50 = 2  25

250 = 2  125

СРАВНЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ

•Из двух десятичных дробей больше та, у которой целаячасть больше.

•Чтобы сравнить две десятичные дроби с равными целымичастями и различным количеством цифр после запятой,надо с помощью приписывания нулей справа уравнять количество цифр в дробных частях, после чего сравнить полученные дроби поразрядно.

ОКРУГЛЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ

Чтобы округлить натуральное число с точностью до данного разряда - значитзаменить все цифры младших разрядов нулями, а цифру данного разрядаопределить по следующему правилу:

1)если после указанного разряда стоит цифра 0, 1, 2, 3, 4, то цифра данного разряда остается без изменения;

2)если после указанного разряда стоит цифра 5, 6, 7, 8, 9, то цифра данного разряда увеличивается на 1.

Чтобы округлить десятичную дробь с точностью до единиц, десятых, сотых и т. д., надо все следующие за этим разрядомцифры отбросить. Если при этом первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то последняя из оставшихся цифр не изменяется.Если же первая из отбрасываемых цифр равна 5, 6, 7, 8 или 9, то последняя из оставшихся цифр увеличивается на единицу.

ПОВТОРИ И ЗАПОМНИ-10

МЕТОД «ВЕСОВ»

Решить уравнение №1:

5x + 6 = 7x – 10

ПОВТОРИ И ЗАПОМНИ-6

ДВИЖЕНИЕ ОБЪЕКТОВ

Движение навстречу друг другу Движение вдогонку V₁ V₂

S = V_сбл ∙ t

V_сбл = V₁ + V₂ V_сбл = V₁-V₂

Движение в противоположных Движение с отставанием V₁ V₂

направлениях

S = V_удал ∙ t

V_удал = V₁ + V₂ V_удал = V₁ - V₂

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА умножения и деления

1. Для любых натуральных чисел а, b и с выполняются равенства:

2. Для любых натуральных чисел а, b и с выполняются равенства:

Эти равенства означают, что на множестве натуральных чисел

частное не изменится, если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число.

ТАБЛИЦА ПЕРЕВОДА

«Проценты-дроби»

ПОВТОРИ И ЗАПОМНИ-8

Степени чисел от 2 до 9

Квадраты двузначных чисел

Таблица простых чисел от 2 до 1000

ПОВТОРИ И ЗАПОМНИ-8

Степени чисел от 2 до 9

Квадраты двузначных чисел

Таблица простых чисел от 2 до 1000