Ррррррртмимроосьч

Дуга окружности

Дуга окружности – часть окружности между двумя точками окружности.

Обозначение: АВ

Дуга между концами диаметра – полуокружность.

Центральный угол:

АОВ – центральный угол (вершина в центре окружности);

Градусная мера длины окружности:

АВ = АОВ (дуга меньше полуокружности),

АМВ = 360 - АОВ (дуга больше полуокружности).

Вся окружность составляет 360.

Величина полуокружности составляет 180.

Вписанный угол:

АМВ – вписанный угол (вершина лежит на окружности);

АМВ опирается на АВ.

Градусная мера вписанного угла – вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается:

АМВ = АВ = АОВ.

Следствие 1

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

1 = 2 = 3 = 4 = 5 = …. = АВ.

Следствие 2

Вписанные углы, опирающиеся на полуокружность – прямые.

Пример 1. По данным рисунка найдите х.

Дано: Окр. (О; r);

MSN = 40.

Найти: SN - ?

Решение:

1) MSN – вписанный  MN = 2MSN = 80 (по теореме о вписанном угле);

2) SM = 180 (полуокружность);

3) SM + SN + MN = 360 (эти дуги составляют окружность);

SN = 360 - SM - MN = 360 - 180 - 80 = 100.

Ответ: SN = 100.

Пример 2. По данным рисунка найдите х.

Дано: Окр. (О; r);

MN = 124;

КN = 180.

Найти: MNK - ?

Решение:

1) NK + MK + MN = 360 (эти дуги составляют окружность) 

MK = 360 - NK - MN = 360 - 180 - 124 = 56;

2) MNK = MK = 56 : 2 = 28 (по теореме о вписанном угле).

Ответ: MNK = 28.

Пример 3. По данным рисунка найти ВСК.

Дано: Окр. (О; r);

АКВ = 65;

1 = 2.

Найти: ВСК - ?

Решение:

1) АКВ = АСВ = АВ = 65 (Следствие 1 из теоремы о вписанном угле);

2) АС – диаметр  АКС – полуокружность  АВС = 90 (Следствие 2 из теоремы о вписанном угле)  АВС – прямоугольный  2 + С = 90(свойство острых углов прямоугольного треугольника), 2 = 90 - 65 = 25.

3) 2 = 1 = 25  ВАК = 50.

4) ВАК – вписанный  ВАК = ВСК (по теореме о вписанном угле)  ВСК = 100.

Ответ: ВСК = 100.

Пример 4. По данным рисунка найдите BAD и BDA, если BD = 110.

Дано: Окр. (О; r);

АВ – касат-я;

AD – секущая;

О  AD;

BD = 110.

Найти: BAD, BDA - ?

Решение:

1) Проведём хорды ВК и BD, радиус ОВ;

2) ВКD – вписанный  ВКD = ВD = 55;

3) DK – диаметр  DBK = 90 (Следствие 2 из теоремы о вписанном угле)  BDK + BKD = 90 (DBK – прямоугольный)  BDK = 90 - 55 = 35. BDK = BDA = 35;

4) BDK – вписанный  BDK = ВК  ВК = 2BDK = 70  ВОК = ВК = 70 (центральный угол, опирается на ВК);

5) АВ – касательная к Окр. (О; ОВ)  ОВ  АВ (по свойству касательной) 

ОВА – прямоугольный  ВОА + ВАО = 90 (свойство острых углов прямоугольного треугольника)  ВАО = 90 - 70 = 20;

ВАО = BAD = 20.

Ответ: BDA = 35; BAD = 20.

Свойство касательной и секущей

Квадрат расстояния от точки, из которой проведена касательная до точки касания, равен произведению секущей на её внешнюю часть:

АВ² = AC  AD

Свойство отрезков пересекающихся хорд

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

CN  ND = AN  NB

Пример 5. По данным рисунка найдите СN и ND, если СD = 24 см, AN = 16 см, NB = 9 см.

Дано: Окр. (О; r);

СD = 24 см,

AN = 16 см,

NB = 9 см.

Найти: СN, ND - ?

Решение:

1) Пусть DN = СD – СN = 24 - СN.

2) CN  ND = AN  NB (по теореме о пересекающихся хордах) 

CN  (24 – СN) = 16  9;

24CN – CN² = 144;

CN² - 24CN + 144 = 0;

(CN – 12)² = 0;

CN = 12 (см);

3) DN = 24 – 12 = 12 (см).

Ответ: CN = 12 см; DN = 12 см.

Задачи для самостоятельного решения: