Решение логических задач

В презентации рассматриваются различные способы решения логических задач, приведены примеры, есть задачи для самостоятельного решения.

Существует три способа решения логических задач:

• Средствами алгебры логики.
• Табличный.
• С помощью рассуждений.

Прежде, чем приступать к решению задач, необходимо процесс решения логических задач разбить на этапы.

Схема решения логических задач:

• Изучается условие задачи.
• Вводится система обозначений.
• Составляется логическая формула.
• Определяется значения логической формулы.

Рассмотрим несколько логических задач и методы их решения.

Цели:

1. Образовательные:

• Познакомить с тремя способами решения логических задач.
• Познакомить со схемой решения логических задач.
• Закрепить практические навыки решения логических задач с помощью задач для самостоятельной работы.

2. Развивающие:

• Способствовать развитию логического мышления.
• Способствовать развитию памяти, внимания.
• Научить правильно рассуждать, уметь давать ответы на поставленные вопросы.

3. Воспитательные:

• Способствовать воспитанию аккуратности, терпению.
• Способствовать культурному и интеллектуальному развитию учеников .

2

1 способ решения – средствами алгебры логики.

Обозначим высказывания:

А = «машина синего цвета»;

В = «машина была «Рено»»;

С = «машина черного цвета»;

D = «машина была «Тойота»»;

Е = «машина была «Форд»».

Согласно условию:

A v B = 1 – согласно показаниям Боба;

C v D = 1 - согласно показаниям Джона;

¬ A v E = 1 - согласно показаниям Сэма.

Отсюда следует, что истинна и конъюнкция:

( A v B ) ʌ ( C v D ) ʌ (¬ A v E ) = 1

Упростим выражение:

( A v B ) ʌ ( C v D ) ʌ (¬ A v E ) = (A ʌ C v A ʌ D v B ʌ С v B ʌ D) ʌ ( ¬ A v E) =

= A ʌ C ʌ ¬ A v A ʌ D ʌ ¬ A v B ʌ C ʌ ¬ A v B ʌ D ʌ ¬ A v A ʌ C ʌ E v A ʌ D ʌ E v B ʌ C ʌ E v B ʌ D ʌ E = 1

Из полученных восьми слагаемых семь являются ложными, истинное слагаемое:

B ʌ C ʌ ¬ A = 1.

Ответ:  РЕНО ЧЕРНЫЙ

Три свидетеля ДТП сообщили сведения о скрывшемся нарушителе. Боб утверждает, что тот был на синем «Рено», Джон сказал, что нарушитель уехал на черной «Тойоте», а Сэм сказал, что машина была точно не синяя и, по всей видимости, это был «Форд». Когда удалось отыскать машину, выяснилось, что каждый из свидетелей точно определил только один из параметров автомобиля, а в другом ошибся.

Какая и какого цвета была машина у нарушителя?

Ответ записать в виде двух слов, разделенных пробелом: МАРКА ЦВЕТ.

Например: ЖИГУЛИ БЕЛЫЙ

3

2 способ решения – с помощью рассуждений

Предположим, что машина была марки «Тойота». Тогда Джон ошибся в цвете, а Боб и Сэм ошиблись в марке, но верно определили цвет. Поскольку Боб и Сэм указали разные цвета, мы пришли к противоречию, следовательно, машина не «Тойота», и Джон ошибся в марке. Но тогда Джон верно указал цвет – черный. Значит, Боб ошибся в цвете, следовательно, верно указал марку – «Рено».

4

Решение:

Введем обозначения: А – Анна, И – Ирина, О – Ольга, Д – Денис, К – Кирилл, М – Максим.

Тогда по условию задачи:

А ʌ Д v И ʌ К = 1 из ответа Анны;

И ʌ М v А ʌ К = 1 из ответа Ирины;

О ʌ К v А ʌ М = 1 из ответа Ольги.

Решаем задачу методом рассуждений:

Рассмотрим ответ Анны, здесь возможны два варианта:

А) А ʌ Д = 0 и И ʌ К = 1 (т.е. сына Ирины зовут Кирилл, что противоречит высказыванию Ирины)           

Б) А ʌ Д = 1 и И ʌ К = 0 (т.е. сына Анны зовут Денис. Тогда из высказывания Ольги следует, что сына Ольги зовут Кирилл, а сына Ирины зовут Максимом, что не противоречит условию).

Ответ: сын Анны – Денис, Ирины – Максим, Ольги – Кирилл.

Три молодые мамы Анна, Ирина и Ольга, гуляя в парке со своими малышами, встретили свою четвертую подругу. На вопрос, как зовут малышей, желая подшутить над подружкой, они ответили:

Анна:   моего сына зовут Денис, а Кирилл – сын Ирины.

Ирина: моего сына зовут Максим, а Кирилл – сын Анна.

Ольга: мой мальчик  - Кирилл, а сына Анны зовут Максим.

Каждая из один раз сказала правду и  один раз солгала. Как зовут мальчиков Анны, Ирины и Ольги?

5

Решение:

Кратко записываем суждения ребят.

Алеша: Л ʌ 5;

Витя: М ʌ 3;

Игорь: ¬ Л ʌ 4.

Из условия каждый прав наполовину, поэтому:

¬ Л ʌ 5 v ¬ 5 ʌ Л = 1

¬ М ʌ 3 v ¬ 3 ʌ М = 1

¬ Л ʌ ¬ 4 v Л ʌ 4 = 1

Построим таблицу истинности:

Рассматриваем 6 вариантов:

Л5, Л4, Л3, М5, М4, М3

Выбираем комбинацию, где все суждения окажутся истинными.

Ответ: гирька сделана из меди и вес 5 г.

Алеша, Витя и Игорь после уроков нашли на полу в кабинете физики маленькую гирьку. Каждый из них, рассматривая находку, высказал два предположения. Алеша сказал: «Это гирька из латуни, и весит она, скорее всего, 5 г», Витя предположил, что гирька сделана из меди весит 3 г. Игорь же считал, что гирька не из латуни и вес ее – 4 г. Учитель физики обрадовался, что пропажа нашлась, и сказал ребятам, что каждый из них прав только наполовину. Из какого металла – латуни (Л) или меди (М) – изготовлена гирька и каков ее вес?

п/п

1

Л

2

1

М

3

0

3

1

1

4

4

1

0

5

0

0

5

0

0

0

6

0

1

0

¬ Л

1

1

1

0

0

¬ М

0

0

0

1

0

¬ Л ʌ 5 v ¬ 5 ʌ Л

1

0

1

1

1

0

1

0

¬ М ʌ 3 v ¬ 3 ʌ М

0

1

1

1

0

0

1

¬ Л ʌ ¬ 4 v Л ʌ 4

0

0

0

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

6

Решение:

Используем метод рассуждений.

Вводим краткие обозначения: А – Артем, К – Кирилл, М – Максим, школа №534 – 534, школа №105 – 105, школа №76 – 76.

Из условия задачи:

(1) А  534  К  76 = 1

(2) К  534  А  105 = 1

(3) М  534  А  76 = 1

Рассмотрим высказывание Артема. Здесь возможны два случая:

1) А  534 = 1;          К  76 = 0

2) А  534 = 0;          К  76 = 1

Рассматриваем случай 1.

Тогда из (2) следует К  534 = 1 (так как А  105  = 0), из (3) получаем М  534 = 1 (А  76 = 0), что противоречит условию задачи (все ученики разных школ).

Рассмотрим второй случай.

А  534 = 0;          К  76 = 1

Отсюда следует: 

Из (2)  К  534 = 0; А  105 = 1

Из (3)  М  534 = 1; А  76 = 0.

В результате имеем:

К  76 = 1;

А  105 = 1;

М  534 = 1, что и является ответом, отвечающим всем условиям.

Три ученика из разных школ на вопрос, в какой школе учатся, ответили:

Артем: я учусь в в школе №534, а Кирилл – в школе №76.

Кирилл: я учусь в школе №534, а Артем – в школе №105.

Максим: я учусь в школе №534, а Артем – в школе №76.

Каждый из них один раз сказал правду и один раз солгал.

В каких школах учатся Артем, Кирилл и Максим?

7

Задача 2

В классе есть отличники, хорошисты, троечники и двоечники. Определите по следующим суждениям, кем являются Маша, Лена, Кирилл и Даша, если известно, что в каждом суждении истинно только одно убеждение.

1: Маша – хорошистка, Лена – двоечница;

2: Кирилл – отличник, Даша – хорошистка;     

3: Кирилл -  хорошист, Лена – троечница.

Задача 1

Болельщики строят прогнозы:  1) Таня займет I место, Валя - II; 2) Таня займет II место, Даша - III; 3) Аня займет II место, Даша - IV. По окончании соревнований оказалось, что в каждом предположении только одно из высказываний каждого болельщика истинно, другое - ложно. Каковы результаты соревнований, если на каждом месте по одной девушке?

8

Задача 3.

Классный руководитель пожаловался директору, что у него в классе появилась компания из 3-х учеников, один из которых всегда говорит правду, другой всегда лжет, а третий говорит через раз то ложь, то правду. Директор знает, что их зовут Коля, Саша и Миша, но не знает, кто из них правдив, а кто - нет. Однажды все трое прогуляли урок астрономии. Директор знает, что никогда раньше никто из них не прогуливал астрономию. Он вызвал всех троих в кабинет и поговорил с мальчиками. Коля сказал: "Я всегда прогуливаю астрономию. Не верьте тому, что скажет Саша". Саша сказал: "Это был мой первый прогул этого предмета". Миша сказал: "Все, что говорит Коля, - правда". Директор понял, кто из них кто. Расположите первые буквы имен мальчиков в порядке: "говорит всегда правду", "всегда лжет", "говорит правду через раз". (Пример: если бы имена мальчиков были Рома, Толя и Вася, ответ мог бы быть: РТВ)

Задача 4.

Три школьника, Миша (М), Коля (К) и Сергей (С), остававшиеся в классе на перемене, были вызваны к директору по поводу разбитого в это время окна в кабинете. На вопрос директора о том, кто это сделал, мальчики ответили следующее: Миша: "Я не бил окно, и Коля тоже..."

Коля: "Миша не разбивал окно, это Сергей разбил футбольным мячом!"

Сергей: "Я не делал этого, стекло разбил Миша".

Стало известно, что один из ребят сказал чистую правду, второй в одной части заявления соврал, а другое его высказывание истинно, а третий оба факта исказил. Зная это, дирек­тор смог докопаться до истины. Кто разбил стекло в классе? В ответе запишите только первую букву имени.

9

Задача 6

Три подразделения А, В и С торговой фирмы стремились получить по итогам года прибыль. Экономисты высказали следующие предположения:

ни подразделение А, ни подразделение В не получит прибыль;

неверно, что подразделение С получит прибыль только тогда, когда получит прибыль и подразделение А и подразделение В;

для того, чтобы подразделение В получило прибыль не достаточно, чтобы подразделение С получило прибыль.

По завершению года оказалось, что одно из трех предположений ложно. Какие подразделения  получили прибыль?

Задача 5

Компьютер вышел из строя. Известно, что:

Если монитор неисправен, то исправна видеокарта, но не исправна оперативная память.

Если видеокарта исправна, то исправна оперативная память, но не­исправен монитор.

Если оперативная память исправна, то исправна видеокарта, но не­исправен монитор

Исправен ли монитор?

10

• http:// www.urok-informatiki.ru/publ/uroki/tema_8_reshenie_logicheskikh_zadach/1-1-0-44
• http:// www.urok-informatiki.ru/blog/logicheskie_zadachi_s_otvetami/2011-12-13-31?lj_VmB
• http:// nsportal.ru/shkola/informatika-i-ikt/library/logicheskie-zadachi-s-otvetami
• http://nsportal.ru/shkola/informatika-i-ikt/library/metodika-resheniya-logicheskikh-zadach
• http://festival.1september.ru/articles/312793/

11