Разработка урока по математике "Решение тригонометрических уравнений, неравенств и их систем"

Задачи урока:

- обобщить и систематизировать навыки решения тригонометрических уравнений, неравенств и их систем;

- Способствовать формированию умений: сравнения, обобщения, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти;

- содействовать воспитанию духа соревнования, интереса к математике и её приложениям, активность, умение общаться и общей культуре.

План урока.

1. Оргмомент.

2. Разминка (применение теории на практике). Тест.

3. Эстафета. Решение тригонометрических уравнений.

4. Аукцион (решение системы тригонометрических уравнений, тригонометрических неравенств).

5. Историческая справка. Применение тригонометрии.

6. Рефлексия.

7. Домашнее задание.

Ход урока.

1. Вступительное слово учителя.

Однажды, в журнале «Знание -сила» был напечатан фантастический рассказ «Лунная соната». В институт, где работал на ЭВМ герой рассказа, пришло распоряжение: заменить старые ЭВМ первого поколения новыми. Но инженер очень любил своего «Людвига» - так он называл ЭВМ, на которой работал и не хотел с ней расставаться. Но приказ есть приказ и его нужно выполнять.

С болью в душе и огромным волнением спустился он на первый этаж, где одиноко стоял его «Людвиг» среди уже разобранных другими инженерами ЭВМ. Сел около него, положил руки на клавиатуру, задумался. И вдруг помещение заполонила волшебная, неземная музыка, которая проникла в его сердце, сознание. И он понял: это «Людвиг» прощается с ним, прощает его за то, что инженер вынужден выполнить данный ему приказ.

А музыка всё не умолкала, напоминая о радостных событиях в его жизни и неудачах, об ожидании счастья. Это была «Лунная соната» Бетховена - одно из лучших произведений мировой культуры. «Людвиг» нарисовал на экране компьютера сердце человека - кардиоиду Её уравнение в полярной системе координат: r = а(1 -cosφ) и подарил своему любимому инженеру «букет математических цветов» - их уравнение в полярной системе координат:

a) (p-2) (p-2|cos?|) = 0

b) p = sin 5 (з - это тоже тригонометрическое уравнение).

Ваши будущие профессии - учителя, инженера, операторы ЭВМ связаны с тригонометрией. Их Вы будете решать при сдаче ЕНТ, на вступительных экзаменах в институт, применять при решении и разработке различных тем по выбранной профессии.

2. Тест. (Приложение 1)

Герберт Спенсер, английский философ говорил: «Дороги не те знания, которые откладываются в мозгу, как жир, дороги те, которые превращаются в умственные мышцы». Сейчас попробуем применить вызубренные формулы к решению тригонометрических уравнений, неравенств и их систем.

3. Эстафета.

«Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно». А. Энштейн

Классификация тригонометрических уравнений.

4. Аукцион знаний.

«Мышление начинается с удивления» - заметил 2500 лет назад Аристотель. Сухомлинский В. А. считал что: «Чувство удивления - могучий источник желания знать, от удивления к знаниям - один шаг».

 А математика замечательный предмет для удивления.

5. Историческая справка.

(Слайд 1) Тригонометрия — раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии. (Слайд 2) Данный термин впервые появился в 1595 г. как название книги немецкого математика Бартоломеуса Питискуса (Bartholomaus Pitiscus, 1561—1613)

Первые тригонометрические таблицы были, вероятно, составлены Гиппархом Никейским (180—125 лет до н. э. ) (слайд 3)

Ещё древнегреческие ученые создали «тригонометрию хорд», выражавшую зависимости между центральными углами круга и хордами, на которые они опираются. Этой тригонометрией пользовался во II в. до н. э. в своих расчетах древнегреческий астроном Гиппарх. Во II в. н. э. греческий ученый Птоломей(слайд 4) в своей работе «Алмагест» («Великая книга») также вывел соотношения в круге, которые по своей сути аналогичны современным формулам синуса половинного и двойного углов, синуса суммы и разности двух углов.

В IV-V веках появился уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского учёного Ариабхаты(слайд 5), именем которого назван первый индийский спутник Земли. Он ввел понятие ардхаджива (ардха - половина, джива - тетива лука, которую напоминает хорда). (слайд 6)

Позднее появилось более краткое название джива. Арабскими математиками в IX веке это слово было заменено на арабское слово джайб (выпуклость). При переводе арабских математических текстов в веке оно было заменено латинским синус (sinus - изгиб, кривизна). (Слайд 7) 

Весь материал - в документе.

РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ,

НЕРАВЕНСТВ И ИХ СИСТЕМ

Грабок С.А., учитель математики ОСШ № 25 г. Актобе РК

Задачи урока:

— обобщить и систематизировать навыки решения тригонометрических уравнений, неравенств и их систем;

— Способствовать формированию умений: сравнения, обобщения, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти;

— содействовать воспитанию духа соревнования, интереса к математике и её приложениям, активность, умение общаться и общей культуре.

Тип урока: урок обобщения и систематизирования знаний.

Методы обучения: частично-поисковый, работа в группах, системные обобщения, самопроверка.

Формы организации труда: индивидуальная, фронтальная.

Ход урока

1. Оргмомент

2. Разминка (применение теории на практике). Тест.

3. Эстафета. Решение тригонометрических уравнений.

4. Аукцион (решение системы тригонометрических уравнений, тригонометрических неравенств).

5. Историческая справка. Применение тригонометрии.

6. Рефлексия.

7. Домашнее задание.

1. Вступительное слово учителя.

Однажды, в журнале «Знание -сила» был напечатан фантастический рассказ «Лунная соната». В институт, где работал на ЭВМ герой рассказа, пришло распоряжение: заменить старые ЭВМ первого поколения новыми. Но инженер очень любил своего «Людвига» - так он называл ЭВМ, на которой работал и не хотел с ней расставаться. Но приказ есть приказ и его нужно выполнять. С болью в душе и огромным волнением спустился он на первый этаж, где одиноко стоял его «Людвиг» среди уже разобранных другими инженерами ЭВМ. Сел около него, положил руки на клавиатуру, задумался. И вдруг помещение заполонила волшебная, неземная музыка, которая проникла в его сердце, сознание. И он понял: это «Людвиг» прощается с ним, прощает его за то, что инженер вынужден выполнить данный ему приказ. А музыка всё не умолкала, напоминая о радостных событиях в его жизни и неудачах, об ожидании счастья. Это была «Лунная соната» Бетховена - одно из лучших произведений мировой культуры. «Людвиг» нарисовал на экране компьютера сердце человека - кардиоиду Её уравнение в полярной системе координат: r = а(1 -cos) и подарил своему любимому инженеру «букет математических цветов» - их уравнение в полярной системе координат:

a) (p-2)(p-2|cos?|) = 0

b) p = sin 5 (з - это тоже тригонометрическое уравнение).

Ваши будущие профессии - учителя, инженера, операторы ЭВМ связаны с тригонометрией. Их Вы будете решать при сдаче ЕНТ, на вступительных экзаменах в институт, применять при решении и разработке различных тем по выбранной профессии 2.Тест. (Приложение 1)

Герберт Спенсер, английский философ говорил: «Дороги не те знания, которые откладываются в мозгу, как жир, дороги те, которые превращаются в умственные мышцы». Сейчас попробуем применить вызубренные формулы к решению тригонометрических уравнений, неравенств и их систем

3.Эстафета.

«Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно». А. Энштейн

Классификация тригонометрических уравнений

1) 3cos²x+10cosx + 3 = 0

2) cos2x — sin2x =

3) ctg2xcos²x = ctg2xsin²x

4) sin x — cos x = 0

5) 2 + cos²x = 2sinx

6) sin x + cos x = 2

7) sin 2x = cos x

8) 6 sin x cos x = 5 cos x

4. Аукцион знаний.

«Мышление начинается с удивления» - заметил 2500 лет назад Аристотель. Сухомлинский В.А. считал что: «Чувство удивления - могучий источник желания знать, от удивления к знаниям - один шаг».

А математика замечательный предмет для удивления.

1. Решите систему уравнений:

2. Найти область определения функции:

3. Решите неравенство:

|sinx|

4. Решите систему неравенств:

5. Историческая справка.

(Слайд 1)Тригонометрия (от греч. (треугольник) и греч. (измерять), то есть измерение треугольников) — раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии.(Слайд 2) Данный термин впервые появился в 1595 г. как название книги немецкого математика Бартоломеуса Питискуса (Bartholomaus Pitiscus, 1561—1613)

Первые тригонометрические таблицы были, вероятно, составлены Гиппархом Никейским (180—125 лет до н. э.) (слайд 3)

Ещё древнегреческие ученые создали «тригонометрию хорд», выражавшую зависимости между центральными углами круга и хордами, на которые они опираются. Этой тригонометрией пользовался во II в. до н.э. в своих расчетах древнегреческий астроном Гиппарх. Во II в. н.э. греческий ученый Птоломей(слайд 4) в своей работе «Алмагест» («Великая книга») также вывел соотношения в круге, которые по своей сути аналогичны современным формулам синуса половинного и двойного углов, синуса суммы и разности двух углов.

В IV-V веках появился уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского учёного Ариабхаты(слайд 5), именем которого назван первый индийский спутник Земли. Он ввел понятие ардхаджива (ардха - половина, джива - тетива лука, которую напоминает хорда).(слайд 6) Позднее появилось более краткое название джива. Арабскими математиками в IX веке это слово было заменено на арабское слово джайб (выпуклость). При переводе арабских математических текстов в веке оно было заменено латинским синус (sinus - изгиб, кривизна). (Слайд 7)

Слово косинус намного моложе. Косинус - это сокращение латинского выражения completely sinus, т. е. "дополнительный синус" (или иначе "синус дополнительной дуги"; объясняющего тот факт, что cosa равен синусу угла, дополняющего угол а до П/2, т.е. cosa = sin(П/2-a). cosa= sin( 90° - а)).

(Слайд 8)Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также котангенс) введен в X веке арабским математиком Абу-ль-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты лишь в XIV веке немецким математиком, астрономом Регимонтаном (1467 г.). Название «тангенс», происходящее от латинского tanger (касаться), появилось в 1583 г. Tangens переводится как «касающийся» (линия тангенсов - касательная к единичной окружности).

Первый научный труд, в котором тригонометрия утвердилась как самостоятельная ветвь математики, был создан в 1462-1464 гг. немецким астрономом и математиком И. Мюллером, известным в истории под псевдонимом Региомонтан (слайд 9)(1436-1476) Он доказал теорему тангенсов. Региомонтан составил также подробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе.

(Слайд 10) Позднее часть тригонометрии, которая изучает свойства тригонометрических функций и зависимости между ними, начали называть гониометрией (в переводе - наука об измерении углов, от греческого gwnia - угол, metrew- измеряю). Термин гониометрия в последнее время практически не употребляется.

Возникновение тригонометрии связано с землемерением, астрономией и строительным делом.

6. Применение тригонометрии.

- МАТЕМАТИКА — наука не только для ученых. Она нужна всем. Как не крути, а знание математики совершенно необходимы нам не только при выборе определённой профессии, но и в повседневной жизни: Когда вы идете в магазин, делаете ремонт или слушаете ежедневный прогноз погоды. Основы всего, что создано человеком - это различные направления, как в гуманитарных, так и в математических науках. Одна из них - тригонометрия.

-Архитектура (слайд 2), триангуляция, позволяющая измерять расстояния до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии контролировать системы навигации спутников (слайд 3), медицина (слайд 4)-это не единственные сферы науки, в которых используются тригонометрические формулы.

- В результате серии экспериментов американскими учеными было доказано, что мозг человека оценивает расстояние до объектов, измеряя угол между плоскостью земли и плоскостью зрения

- Хотя, идея "измерения углов" не является новой. Еще художники Древнего Китая рисовали удаленные объекты выше в поле зрения, несколько пренебрегая законами перспективы- Разработан принципиально новый, «геометрический» подход к изучению музыкальных произведений. Историю развития музыки на протяжении многих веков теперь можно представить, как процесс изучения различных типов симметрии и геометрических форм.

Новый метод анализа музыкальных произведений получил название «геометрическая теория музыки». С его помощью основные музыкальные структуры и преобразования переводятся на язык современной геометрии. Каждая нота в рамках новой теории представляется как логарифм частоты соответствующего звука (нота «до» первой октавы, к примеру, соответствует числу 60, октава - числу 12). Математика также является отличным поводом хорошего настроения. Наши юмористы не упустили возможности пошутить на эту тему и сейчас вашему вниманию я хотела бы представить небольшой

отрывок выступления Аркадия Хайта.

Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой,

пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей

работе.

7.Рефлексия.

Ваши ассоциации при изучении темы: «Решение тригонометрических уравнений

неравенств и их систем».

Терпение

Радость

Интересно

Гениально

Окружность

Нравится

Объективно

Мудро

ЕНТ

Трудолюбие

Реально

Идеально

Ясно

8. Домашнее задание.

9. Итог.

Урок подошел к концу. И надеюсь, вы со мной согласитесь, что на самом деле решение тригонометрических уравнений, неравенств и их систем - дело хотя и не простое, но интересное и увлекательное.