Разработка урока по информатике по теме "Численные методы математического программирования. Сравнение методов нахождение корней нелинейных уравнений методами деления отрезка пополам (метод бисекции) и хорд"

Аннотация: На данном уроке учителем математики были рассмотрены принципы нахождения корней алгебраического многочлена двумя численными методами: методом деления отрезка пополам (метод бисекции) и хорд с учетом определяемой точности. Затем учителем информатики вместе с учениками физико-математического профиля были разработаны алгоритмы вычисления корней этими методами, а также в среде Free Pascal были разработаны программы, реализующие этот поиск и проверку. В этой работе приводится описание как самих численных методов, так и программ, включая примеры и «экранные копии».

Многие задачи математики сводятся к отысканию корней функций, т. е. к решению уравнений вида F(x)=0. Однако лишь весьма редко существуют формулы для «точного» решения таких уравнений. Поэтому возникает задача о приближенном решении уравнений.

Метод деления отрезка пополам (метод бисекции)

Допустим, что нам удалось найти отрезок [a, b], на котором расположено искомое значение корня x=c (рис. 1). В качестве начального приближения корня c₀ принимаем середину отрезка c₀=(a+b)/2. Далее, исследуем значения функции F(x) на концах отрезков [a, c₀] и [с₀, b], т. е. в точках a, c₀, b. Тот из отрезков, на концах которого F(x) принимает значения разных знаков, содержит искомый корень, поэтому его принимаем в качестве нового отрезка [a₁, b₁]. Вторую половину отрезка [a, b], на которой знак F(x) не меняется, отбрасываем. В качестве первого приближения корня принимаем середину нового отрезка c₁=(a₁+b₁)/2 и т. д. Таким образом, k-е приближение вычисляется как c_k=(a_k+b_k)/2. После каждой итерации отрезок, на котором расположен корень, уменьшается вдвое, а после k-той итерации сокращается в 2^k раз.

Пусть приближенное решение x требуется найти с точностью до некоторого заданного малого числа e > 0. Взяв в качестве приближенного решения k-е приближение корня c_k, запишем это условие в виде:

Полную информацию смотрите в файле.