Разработка урока математики по теме "Применение производной"

Цели урока:

Образовательные:

- Углубление понимания сущности производной путем применения её для получения новых знаний;

- Установление межпредметных связей;

Воспитательные:

- Воспитание познавательного интереса к учебному предмету;

- Формирование умения осуществлять самоконтроль;

Развивающие:

- Формирование умений строить доказательство, логическую цепочку рассуждений;

- Формирование умений проводить обобщение, переносить знания в новую ситуацию.

Оборудование: компьютер, экран, калькуляторы, мультимедиапроектор.

Организационный этап.

Повторение изученного материала.

Начнем наш урок с разгадывания кроссворда.

Вопросы:

1. Прямая, наиболее тесно примыкающая к кривой в малой окрестности заданной точки.

В математике это понятие возникло в результате попыток придать точный смысл понятию «касательная к кривой в заданной точке».

3. Приращение какой переменной обычно обозначают

4. Если существует предел в точке А и этот предел равен значению функции в точке А, то в этой точке функцию называют…

5. Эта точка лежит внутри области определения функции, и в ней функция принимает самое значение по сравнению со значениями в близких точках.

6. Эта величина определяется как производная к скорости по времени.

7. Если функцию у=f(x) можно представить в виде у=f(x)=g(h(x)), где y=g(t) и t=h(x) – некие функции, то функцию f называют…

Кроссворд вы разгадали. В выделенных клетках вы видите фамилию французского математика и механика Жозефа Луи Лагранжа. Он являлся почетным членом Петербургской академии наук. Родился в семье обедневшего чиновника; уже в 19 лет стал профессором в Артиллерийской школе Турина. Именно Лагранж в 1797 году ввёл термин «производная», ему же мы обязаны современным обозначением производной (с помощью штриха). Термин «вторая производная» также ввёл Лагранж.

Наша с вами сегодняшняя задача – более тесно связать понятие производной с задачами практического содержания. Итак, тема урока: «применение производной при решении прикладных задач».

Класс делится на 4 группы. Первая и вторая группы получают одну задачу, третья и четвертая – другую задачу и проводят исследование в поиске решения.

Задача 1

Для размещения склада требуется огородить участок прямоугольной формы наибольшей площади имеющейся для этого сеткой длиной 80м. найдите размеры участка.

Полную информацию смотрите в файле. 

Конспект урока математики

Класс-10

тема «Применение производной при решении прикладных задач».

Автор- учитель математики МОУ « Усогорская СОШ с УИОП»

Усачёва Аделина Олеговна.

Цели урока:

• Образовательные:

• Углубление понимания сущности производной путем применения её для получения новых знаний;

• Установление межпредметных связей;

• Воспитательные:

• Воспитание познавательного интереса к учебному предмету;

• Формирование умения осуществлять самоконтроль;

• Развивающие:

• Формирование умений строить доказательство, логическую цепочку рассуждений;

• Формирование умений проводить обобщение, переносить знания в новую ситуацию.

Оборудование: компьютер, экран, калькуляторы, мультимедиапроектор.

1. Организационный этап.

2. Повторение изученного материала.

Начнем наш урок с разгадывания кроссворда.

Вопросы:

1. Прямая, наиболее тесно примыкающая к кривой в малой окрестности заданной точки.

2. В математике это понятие возникло в результате попыток придать точный смысл понятию «касательная к кривой в заданной точке».

3. Приращение какой переменной обычно обозначают

4. Если существует предел в точке А и этот предел равен значению функции в точке А, то в этой точке функцию называют…

5. Эта точка лежит внутри области определения функции, и в ней функция принимает самое значение по сравнению со значениями в близких точках.

6. Эта величина определяется как производная к скорости по времени.

7. Если функцию у=f(x) можно представить в виде у=f(x)=g(h(x)), где y=g(t) и t=h(x) – некие функции, то функцию f называют…

Кроссворд вы разгадали. В выделенных клетках вы видите фамилию французского математика и механика Жозефа Луи Лагранжа. Он являлся почетным членом Петербургской академии наук. Родился в семье обедневшего чиновника; уже в 19 лет стал профессором в Артиллерийской школе Турина. Именно Лагранж в 1797 году ввёл термин «производная», ему же мы обязаны современным обозначением производной (с помощью штриха). Термин «вторая производная» также ввёл Лагранж.

Наша с вами сегодняшняя задача – более тесно связать понятие производной с задачами практического содержания. Итак, тема урока: «применение производной при решении прикладных задач».

Класс делится на 4 группы. Первая и вторая группы получают одну задачу, третья и четвертая – другую задачу и проводят исследование в поиске решения.

Задача 1

Для размещения склада требуется огородить участок прямоугольной формы наибольшей площади имеющейся для этого сеткой длиной 80м. найдите размеры участка.

Задача 2

Найдите при каких условиях расход жести на изготовление консервных банок цилиндрической формы заданной ёмкости будет наименьшим.

Каждая группа должна составить математическую модель задачи, обсудить и рассмотреть возможные дополнительные условия и затем у доски защитить свои решения.

Учитель выступает в роли консультанта.

Примерные рассуждения учащихся первой и второй групп:

Обозначим длину одной из сторон искомого прямоугольника через х, тогда площадь S(x) прямоугольника выразится формулой: S(x)=x(40-x)=40x-x², где x принадлежит (0;40)

Исследуя полученную функцию, убеждаемся, что участок наибольшей формы – квадрат 20х20 метров. Наибольшая площадь 400 м². Учащиеся ввели дополнительное условие: склад строится не на открытом месте, а около каких-либо построек. Какие возможны случаи ограждения склада? Наиболее часто встречаются 2 случая, когда склад примыкает к одной стене или одновременно к двум стенам постройки.

Рассматривая первый случай увидели, что площадь выражается другой формулой: S(x)=2(40x-x²), где х – длина стороны не примыкающей к постройке. Исследуя эту функцию, учащиеся пришли к выводу, что в этом случае оптимальные размеры таковы: длина стороны примыкающей к постройке 40 м, длина другой стороны 20м, а наибольшая площадь 800 м².

Второй случай показал, что функция S(x)=x(80-x) принимает наибольшее значение при х=40 и S=1600 м².

Рассмотрение этой задачи ученики сопровождали схемой территории предприятия (компьютер, экран, мультимедиа). Применение схемы позволило последовательно находить оптимальные варианты размещения склада.

Примерные рассуждения учащихся третьей и четвертой групп:

Надо определить размеры цилиндра с Vсм³ так, чтобы площадь его полной поверхности была наименьшей. Обозначим диаметр основания цилиндра через х, а высоту через h. Тогда . Отсюда . Полная поверхность цилиндра , где .

Найдем производную : . Для нахождения критических точек решим уравнение . Корень уравнения . При , а при . Следовательно, в точке функция имеет минимум. Итак, - единственная критическая точка на множестве положительных чисел и является точкой минимума функции, следовательно, функция в этой точке достигает своего наименьшего значения. Таким образом площадь полной поверхности цилиндра, имеющего объём , будет наименьшей при

. Таким образом, учащиеся пришли к выводу, то наименьший расход жести на изготовление консервной банки цилиндрической формы заданной емкости будет достигнут при условии, что диаметр основания и высота банки равны между собой. Однако была выдвинута версия, что промышленность не редко выпускает консервы в жестяной таре, не обеспечивая наименьший расход материала на изготовление банки. Это обусловлено рядом причин: стремлением к минимизации отходов при изготовлении банок, соображениями торговой эстетики, возможностями транспортировки.

Итог урока: сегодня мы с вами узнали, как можно применять производную при решении задач практического содержания.

Домашнее задание:

Установить оптимальные размеры бака (в смысле минимума расходов) данного объёма 0,25м³ с квадратным основанием, если стоимость сварки шва составляет 100руб. за 1 метр, а стоимость жести равна 200 руб. за 1 м².