Презентация к уроку "Вероятности гипотез. Формулы Байеса"

Краевое государственное бюджетное

профессиональное образовательное учреждение

«К омсомольский-на-Амуре строительный колледж »

Вероятность гипотез Формулы Байеса

Преподаватель

Свириденко Юлия Валерьевна

Пусть А событие может наступить при условии появления одного из несовместных событий В 1 , В 2 , ….. В n , образующих полную группу. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности:

+…….+ (*)

Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А.

Поставим своей задачей определить, как изменились (в связи с тем, что событие А уже наступило) вероятности гипотез. Другими словами, будем искать условные вероятности

Р А (В 1 ), Р А (В 2 ), ……., Р А (В n ),

Найдем сначала условную вероятность Р А (В 1 ).

По теореме умножения имеем: Р(АВ 1 ) = Р(А) Р А (В 1 ) =

Отсюда , заменив Р(А) по формуле (*), получим

Полученные формулы называются формулами Байеса (по имени английского математика, который их вывел. Опубликованы в 1764 году. Формулы Бейеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

Теорема Бейеса

• Теорема Байеса, названная так в честь пресвитерианского священника XVIII века Томаса Байеса [ правильная транскрипция – Бейз / прим. перев. ] – это метод подсчёта обоснованности верований (гипотез, заявлений, предложений) на основе имеющихся доказательств (наблюдений, данных, информации). Наипростейшая версия звучит так:  изначальная вера + новые свидетельства = новая, улучшенная вера
• Если подробнее: вероятность того, что убеждение истинно с учётом новых свидетельств равна вероятности того, что убеждение было истинно без этих свидетельств, помноженной на вероятность того, что свидетельства истинны в случае истинности убеждений, и делённой на вероятность того, что свидетельства истинны вне зависимости от истинности убеждений. Простая математическая формула выглядит так: P(B|E) = P(B) * P(E|B) / P(E) Где P – вероятность, B – убеждение, E – свидетельства. P(B) – вероятность того, что B – истинно, P(E) – вероятность того, что E истинно. P(B|E) – вероятность B в случае истинности E, а P(E|B) – вероятность E в случае истинности B.

Oсновные сферы применения формулы Байеса

1) Математический инструмент в теории вероятностей.

2) В статистике – как обобщение предшествующего опыта. Предполагается, что нами накоплен опыт, позволяющий экспериментально(!) оценить априорное распределение вероятностей. Далее мы верим в то, что рассматриваемый нами новый объект относится к той же группе. Это позволяет строить классификаторы, основанные на байесовской формуле.

3) В статистике - для сравнения разных моделей в случае, когда априорные распределения настолько нечетки, что вообще несущественны. Очень часто используется BIC (байесовский информационный критерий).

4) Описание умонастроения . Сторонники интерпретации вероятности события как меры субъективной уверенности в его возможности могут пересчитывать эти величины в процессе появления новых данных. Очевидно, что математика здесь может быть подобной мельнице перемалывающей труху: произвол в определении априорных вероятностей может быть опасным.

ПРИМЕР 1

Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру, равна 0,6, а ко второму – 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером, равна 0,94, а вторым – 0,98. Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер.

Решение.

Обозначим через А событие, состоящее в том, что годная деталь признана стандартной. Можно сделать два предположения: 1) деталь проверил первый контролер (гипотеза B1); 2) деталь проверил второй контролер (гипотеза В2).

Искомую вероятность того, что деталь проверил первый контролер, найдем по формуле Бейеса По условию задачи имеем: Р (В1) = 0,6   (вероятность того, что деталь попадает к первому контролеру); P (В2) = 0,4   (вероятность того, что деталь попадет ко второму контролеру); Рв 1 (A) = 0,94 (вероятность того, что годная деталь будет признана первым контролером стандартной);  Рв 2 (А) = 0,98 (вероятность того, что годная деталь будет признана вторым контролером стандартной). 

Искомая вероятность Р А (В1)= (0,6*0,94) / (0,6*0,94 + 0,4*0,98) = 0,59.

Как видно, до испытания вероятность гипотезы В 1 равнялась 0,6, после того, как стал известен результат испытания, вероятность этой гипотезы (точнее, условная вероятность) изменилась и стала равной 0,59. Таким образом, использование формулы Бейеса позволило переоценить вероятность рассматриваемой гипотезы.

ПРИМЕР 2

Группа состоит из 1 отличника, 5 хорошо успевающих студентов и 14 студентов, успевающих посредственно. Отличник отвечает на 5 и 4 с равной вероятностью, хорошист отвечает на 5, 4 и 3 с равной вероятностью, и посредственно успевающий студент отвечает на 4,3 и 2 с равной вероятностью. Случайно выбранный студент ответил на 4. Какова вероятность того, что был вызван посредственно успевающий студент?

Решение

Возможны следующие гипотезы:

Н 1 - отвечал отличник;

Н 2 - отвечал хорошист;

Н 3 –отвечал посредственно занимающийся студент;

Пусть событие А - студент получит 4.

Условные вероятности: Р Н1 (А) = 1/2 ; Р Н2 (А) = 1/3 ; Р Н3 (А) = 1/3 ;

Формула полной вероятности

По формуле полной вероятности, вероятность события:

Формула Байеса

По формуле Байеса найдем вероятность того, что был вызван посредственно успевающий студент:

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

• Из 30 стрелков 12 попадает в цель с вероятностью 0,6, 8 - с вероятностью 0,5 и 10 – с вероятностью 0,7. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, поразив цель. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот стрелок?
• В пирамиде 5 винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок производит один выстрел из наудачу взятой винтовки.
• На склад поступило 2 партии изделий: первая – 4000 штук, вторая – 6000 штук. Средний процент нестандартных изделий в первой партии составляет 20%, а во второй – 10%. Наудачу взятое со склада изделие оказалось стандартным. Найти вероятность того, что оно: а) из первой партии, б) из второй партии.

ПРИМЕР 3

• В ящике находятся 15 теннисных мячей, из которых 9 новых. Для первой игры наугад берутся три мяча, которые после игры возвращаются в ящик. Для второй игры также наугад берутся три мяча. Найти вероятность того, что все мячи, взятые для второй игры, новые.