Презентация к уроку "Однородные тригонометрические уравнения"

Однородные тригонометрические уравнения

А.В. Болоненко, учитель математики

МБОУ «СОШ №4» г. Скопина Рязанской обл.

— однородное тригонометричес - кое уравнение первой степени (а≠0, b ≠ 0)

— однородное тригонометриче c- кое уравнение второй степени

a sin x + b cos x = 0

a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0

Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения первой степени

Разделим обе части почленно на cos x ≠ 0 ( если cos x = 0, то и sin x = 0 , что противоречит основному тригонометрическому тождеству)

(то есть значения x ,

при которых cos x = 0 , не являются корнями данного уравнения)

a sin x + b cos x = 0

a tg x + b = 0

Алгоритм решения полного однородного тригонометрического уравнения второй степени (т.е. если а ≠ 0, b ≠ 0 , с ≠ 0)

Разделим обе части почленно на cos 2 x ≠ 0 ( если cos x = 0, то и sin x = 0 , что противоречит основному тригонометрическому тождеству)

(то есть значения x ,

при которых cos x = 0 , не являются корнями данного уравнения)

a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0

a tg 2 x + b tg x + c = 0

Пример 1

— однородное тригонометрическое уравнение первой степени

Разделим обе части почленно на cos x ≠ 0 ( если cos x = 0, то и sin x = 0 , что противоречит основному тригонометрическому тождеству)

Пример 2

— неполное однородное тригонометрическое уравнение второй степени

— однородное тригонометрическое уравнение первой степени

Разделим обе части почленно на cos x ≠ 0 ( если cos x = 0, то и sin x = 0 , что противоречит основному тригонометрическому тождеству)

sin 2 x + sin x cos x = 0

sin x ( sin x + cos x ) = 0

sin x = 0 или sin x + cos x = 0

x = π k

tg x = -1

Пример 3

— полное однородное тригонометрическое уравнение второй степени

Разделим обе части почленно на cos 2 x ≠ 0 ( если cos x = 0, то и sin x = 0 , что противоречит основному тригонометрическому тождеству)

sin 2 x + 2 sin x cos x – 3cos 2 x = 0

tg 2 x + 2 tg x – 3 = 0

Пусть t = tg x

t 2 + 2t – 3 = 0

D = 16, t 1 = – 3 , t 2 = 1

Вернёмся к переменной x:

tg x = - 3 или tg x = 1

x = - arctg 3 + π k

Пример 4

5sin 2 x - 14 sin x cos x – 3cos 2 x = 2

5sin 2 x - 14 sin x cos x – 3cos 2 x - 2cos 2 x -2sin 2 x = 0

3sin 2 x - 14 sin x cos x – 5cos 2 x = 0

3tg 2 x - 14 tg x – 5 = 0

Пусть t = tg x

3t 2 - 14t – 5 = 0

D = 256, t 1 = – 1/3 , t 2 = 5

Вернёмся к переменной x:

tg x = -1/ 3 или tg x = 5

x = - arctg 1/3 + π k x = arctg 5 + π k

Ответ: - arctg 1/3 + π k , arctg 5 + π k , k€Z.

— полное однородное тригонометрическое уравнение второй степени

Разделим обе части почленно на cos 2 x ≠ 0 ( если cos x = 0, то и sin x = 0 , что противоречит основному тригонометрическому тождеству)

В презентации использованы задания из учебных пособий:

• Математика. 10 класс (базовый уровень)Мордкович А.Г., Смирнова И.М., 8-е изд., стер. – М.; 2013 – 431 с.
• Математика. Профильный уровень. Единый государственный экзамен. Готовимся к итоговой аттестации: [ учебное пособие ] / А.В. Семенов, А.С. Трепалин, И.В. Ященко, И.Р. Высоцкий, П.И. Захаров; под ред. И.В. Ященко. – М.; «Интеллект-Центр», 2020. – 224 с.