Презентация «Экономические задачи ЕГЭ по математике. Профильный уровень. Задания №17» 11 класс

• Экономические задачи ЕГЭ по математике Профильный уровень Задания № 17 Солодухина Лариса Сергеевна учитель математики МКОУ «Мещовская средняя общеобразовательная школа» г. Мещовск , Калужская область

1А) Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно часов в неделю, то за эту неделю они производят 3t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно часов в неделю, то за эту неделю они производят 4t единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей. Григорий готов выделить 5 000 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Пусть, на заводе, расположенном в первом городе, рабочие трудятся часов, а на заводе, расположенном во втором городе, часов. Тогда в неделю будет произведено S =3х+4у (1) единиц товара, а затраты на оплату труда составят 500(+ 500(+ =5 000 0000, + = 10 0000 (2). Выразим из I уравнения у = = (S-3x) (3). Подставим 3 во 2 уравнение: + (-6Sx+9)=10 000, 16+-6Sx+9=160000, 25-(6S)x+(-1600000)=0, =9 -25(S-160000)= 9- 25+4000 000, -16+4 000 000

Уравнение имеет решение, если неотрицателен (2000-4S)(2000+4S)0, - + -

S =500, S=-500 -500 500

-500 500 Тем самым, наибольшее возможное значение = 3х+4у равно 500,

3х+4у=500

Покажем, что оно достигается при натуральных значениях переменных х=60, у=80.

Ответ: 500

1Б) Владимир является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно часов в неделю, то за эту неделю они производят 2t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно часов в неделю, то за эту неделю они производят 5t единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Владимир платит рабочему 500 рублей. Владимиру нужно каждую неделю производить 580 единиц товара. Какую наименьшую сумму придется тратить еженедельно на оплату труда рабочих?

2х+5у=580 у= = (580-2х)= 116-0,4х, S(x)=500(+)=500(+ ),

(х)=500(2х+2(116-0,4х)(-0,4))=500(2х-0,8(116-0,4х)=

=500(2х-92,8+0,32х)=1000х-46400+160х=1160х-46400,

1160х-46400=0 1160х=46400 - 40 + Х=40 х=40- точка минимума S(40)=500(1600+)=500*11600=5 800 000

Ответ: 5 800 000

1В) Николай является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно часов в неделю, то за эту неделю они производят 5t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно часов в неделю, то за эту неделю они производят 12t единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Николай платит рабочему 400 рублей. Николай готов выделить 6 760 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара сумму можно произвести за неделю на этих двух заводах?

S(x)=5х+12у, 400(=6760000, =16900

+ ( =16900

144+-(10S)x+25 =16900*144

169-(10S)x+(-2433600)=0

=25-169+411278400=411278400-144= =(20280-12S)(20280+12S), (20280-12S)(20280+12S)0

- + - =-1690, =1690

-1690 1690 Ответ: 1690

.

2. Зависимость объёма Q (в шт.) купленного у фирмы товара от товара от цены Р (в руб. за шт.) выражается формулой Q=15000 –Р, 1000 Р15000. Доход от продажи товара составляет РQ рублей. Затраты на производство Q единиц товара составляют 3000 Q + 5 000000 рублей. Прибыль равна разности дохода от продажи товара и затрат на его производство. Стремясь привлечь внимание покупателей, фирма уменьшила цену продукции на 20 %, однако её прибыль не изменилась. На сколько процентов следует увеличить сниженную цену, чтобы добиться наибольшей прибыли?

Q (в шт.) – объем купленного у фирмы товара, Q=1500 –Р

Р –цена в руб. за шт.

РQ(руб.) – доход от продажи товара

3000 Q + 5 000000 - затраты на производство товара

Прибыль равна разности дохода от продажи товара и затрат на его производство: f(Р)=РQ –(3000 Q+5000000)=P(15000-P)-(3000(15000-P) +5000000) = 15000P--45000000+3000P-500000 = - +18000Р-50 000 000. Пусть =0,8 цена равна 0,8.Наибольшая прибыль достигается при значении Р, для которого f(P)- парабола с ветвями, направленными вниз, поэтому максимум f(P) достигает в вершине параболы. Поскольку f(=f(0,8), вершина находится в точке =0,9. Значит, нужно увеличить цену с 0,8% до 0,9%.

100%=0,125 Ответ: 12,5%

3А) Строительство нового завода стоит 75 млн. рублей. Затраты на производство х тыс. ед. продукции на таком заводе равны 0,5+х+7 млн. рублей в год. Если продукцию завода продать по цене р тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн. рублей) за один год составит рх - (0,5+х+7). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении р строительство завода окупится не более чем за 3 года?

Прибыль завода (в млн. руб.) за один год рх - (0,5+х+7)= рх-0,5 -х-7=-0,5+х(р-1) -7 Это выражение квадратный трёхчлен и достигает наибольшее значение при х=р-1. Наибольшее значение равно: -0,5+(р-1)(р-1) -7=(-0,5+1) -7= -7 Строительство завода окупится не более , чем за 3 года -7 0

-1890, -630, =9 + - +

(р-9)(р+7) , -7 9

р9

Ответ : 9

3Б) Строительство нового завода стоит 78 млн. рублей. Затраты на производство х тыс. ед. продукции на таком заводе равны 0,5+2х+6 млн. рублей в год. Если продукцию завода продать по цене р тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн. рублей) за один год составит рх - (0,5+2х+6). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении р строительство завода окупится не более чем за 3 года?

Прибыль завода (в млн. руб.) за один год рх - (0,5+2х+6)= рх-0,5 -2х-6= -0,5+х(р-2) -6 Это выражение квадратный трёхчлен и достигает наибольшее значение при х=р-2. Наибольшее значение равно: -0,5+(р-2)(р-2) -6=(-0,5+1) – 6= -6 Строительство завода окупится не более , чем за 3 года ; -6 0

- 600, = 10 + - +

(р-10)(р+6) , -6 10

Р

Ответ : 10

4 А) В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн. рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы: -каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года; - с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга ; - в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наименьший годовой платёж составит 9 млн. рублей?

Остатки долга: 1 год -28-х; 2год-28-2х; 3год-28-3х;….;0 Найдём выплаты: 1 выплата:28-(28-х)=7+х 2 выплата: (28-х)-(28-2х)=7+0,75х 3 выплата: (28-2х)-(28-3х)=7+0,5х 4 выплата: (28-3х)-(28-4х)=7+0,25х и так далее. Наибольшая выплата в первом году: 7+х=9

х=2

Остаток долга на последний год: 28-nx=0

28-2n=0

n=14 (число лет) Выплаты составляют арифметическую прогрессию: =9, d=0,75х-1х=-0,25х=-0,252=0,5, n. Общая сумма выплат: S=14=14=80,5 млн.руб.

Ответ: 80.5 млн. руб.

4 Б) В июле планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн. рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы: -каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года; - с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга ; - в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наименьший годовой платёж составит 1,25 млн. рублей?

По условию долг (в млн.руб.) уменьшается :

9; 9- - = ; , 0. По условию каждый январь долг возрастает на 25%, т.е.

100%+25%=125%=1,25 9=11,25 ; ; …, ,0 .

Выплаты: 2,25+; +;…,++

=1,25,

n= =9

9+2,25(1 +++++

млн.руб.

Ответ:20,25 млн.рублей

4 В) В июле планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн. рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы: -каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года; - с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга ; - в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита. Если наименьший годовой платёж составит 825 тыс. рублей?

По условию долг (в млн.руб.) уменьшается :

9; 9- - = ; , 0. По условию каждый январь долг возрастает на 10%, т.е. 100%+10%=110%=1,1 9=9,9 ; ; …, ,0 . Выплаты: 0,9+; +;…,++

=0,825,

n= =12 (число месяцев)

9+0,9(1 +++++ 9+0,9(1+5)=9+0,9=9+5,85=14, 85 млн.руб.

. Ответ: 14,85 млн.руб.

5А) В июле планируется взять кредит в банке на сумму 1 300 000 рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы: -каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года; - с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга ; - в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. На какое минимально количество лет можно взять кредит при условии, что ежегодные выплаты были не более 350 000 рублей?

Первый год начисляем проценты:1300000+13000=1 430 000

Делаем выплаты: 1 430 000 – 350 000= 1 080 000

Второй год : 1 080 000+108 000=1 188 000

Выплаты: 1 188 000-350 000= 838 000

Третий год: 838 000 + 83 800= 921 800

Выплаты: 921 800 -350 000= 571 800

Четвертый год: 571 800 +57 180 = 628 980

Выплаты: 628 980 – 350 000= 278 980

Пятый год: 278 980+ 27 898 =306 878

Таким образом, выплата пятого года окажется последней.

Ответ: 5 лет

5Б) В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн. рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы: -каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года; - с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга ; - в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. На сколько лет планируется взять кредит если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 38 млн. рублей?

Сначала банк начислит нам проценты на всю сумму кредита: х, но в первый же платеж мы выплатим все эти деньги и вернём ещё часть долга, равную . Тогда останемся должны х- = и уже на эту сумму банк нам начислит проценты и так далее: выплачиваем проценты и часть долга, банк начисляет проценты на оставшуюся часть , тогда в конце концов мы выплатим банку весь долг 16 млн. руб. и всю сумму процентов, всего 38 млн. руб., а сумма процентов будет ни что иное, как арифметическая прогрессия:

x+ (х+ Членов у такой прогрессии ровно столько , на сколько лет (месяцев) взять кредит, разность такой прогрессии d=- , первый член-полная сумма, взятая в долг. Сумма арифметической прогрессии:=n , n

n, х=16, сумма процентов 38-16=22.

)n)= 22,

(()n) =22,

=22:

= 88,

16n-8(n-1)=88,

16n-8n+8 =88,

8n=80,

n=10 Ответ:10 лет

5В) В июле планируется взять кредит в банке на сумму 20 млн. рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы: -каждый январь долг возрастает на 30% по сравнению с концом предыдущего года; - с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга ; - в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. На сколько лет планируется взять кредит если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 47 млн. рублей?

n, х=20, сумма процентов 47-20=27.

)n)= 27,

(()n) =27,

=27:

= 90,

20n-10(n-1)= 90,

20n-10n+10= 90,

10n=80,

n=8 Ответ:8 лет

6А) В июле планируется взять кредит в банке на сумму 4,5 млн. рублей на срок 9 лет. Условия его возврата таковы: -каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года; - с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга ; - в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. Найдите r, если известно, что наибольший годовой платёж по кредиту составит не более 1,4 млн. рублей, а наименьший – не менее 0,6 млн. рублей?

Кредит составляет 4,5 млн. руб. Срок возврата 9 лет. Каждый год планируется платить некоторые суммы(каждый год разные), которые состоят из двух частей: 1) r% от остатка 2) фиксированная сумма в счёт погашения основного долга 4,5 : 9=0,5 млн. руб. Наибольший платёж будет первый год, он составит 4,5 + Наименьший платёж будет последний год, он составит т (4,5- + млн. руб.

Ответ:20

6Б) В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн. рублей на срок 15 лет. Условия его возврата таковы: -каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года; - с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга ; - в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. Найдите r, если известно, что наибольший годовой платёж по кредиту составит не более 1,9 млн. рублей, а наименьший – не менее 0,5 млн. рублей?

7А) 15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы: - 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца; - со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; - 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите г.

Пусть начальная сумма кредита тогда первая выплата за 1 месяц По условию, ежемесячный долг перед банком должен уменьшаться равномерно. Этот долг состоит из и ежемесячной выплаты процентов, равной: ; ; …, Используя формулу суммы членов арифметической прогрессии, найдем полную переплату по кредиту: (1+ + + …+ +)= 10= 1+ + + …+ +==10 По условию, общая сумма выплат на 30% больше суммы , взятой в кредит, тогда, 0,1 r= 0,3 0,1 r 0,3=0 0,1 (r-3)=0; 0,1 =0 при r=3. Ответ : 3%

7Б) 15-го января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы: - 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца; - со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; - 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Какую сумму следует взять в кредит , чтобы общая сумма выплат после полного его погашения кредита равнялась 1 млн. рублей?

Обозначим сумму , взятую в кредит , за 24 S, тогда остаток долга уменьшается равномерно в течении 24 месяцев), будет: 23S, 22 S, …, S, 0.

Чтобы найти очередную выплату, нужно из долга, увеличенного на 2%, вычесть следующий долг. Значит, выплаты будут такими: 24 S-23S; 1,02 -22S; 1,02S-21 S;…,1,02 S-0. Они составляют арифметическую прогрессию, её сумма равна : == =2,5S S; 30 S=1 000 000; S=; 24 S= 800 000=0,8 млн. рублей

Ответ: 0,8 млн. рублей

Интернет источники 1.Открытый банк заданий ЕГЭ на сайте ФИПИ http:// www.fipi.ru/content/otkrytyy-bank-zadaniy-ege 2. Решу ЕГЭ, образовательный портал для подготовки к экзаменам http:// mathb.reshuege.ru/ 3.Открытый банк заданий по математике http://www.fipi.ru/content/otkrytyy-bank-zadaniy-ege